Première Partie. Livre I

rj cos {tt—B)^ C;

Ç Cf (T^ ■ (T

Ai^s

'.{ç—n) x,(^, — rr) r— B B, — B

<[ç—<t) /,(ff, — rr) C — (T a^ — a

De ces expressions, on comprend aisément que l'erreui' qu'on commet en négligeant d'abord lïncrément A?;, est toujours une petite quantité du même ordre que les vitesses c , ^r, , rr.^ , . . . . En conséquence, les valeurs des fonctions )y et r qu'on obtient de la sorte ne ditîèrent des valeurs exactes que de quantités de l'ordre signalé.

Si l'on établit, avec les valeurs ainsi obtenues, une nouvelle courbe de Clairaut, on en obtiendra une nouvelle valeur de y, dont l'erreur sera une quantité du même ordre que les vitesses ç , t, , ....

Dans la troisième approximation, on se procurera une valeur approximative de la fonction X, ainsi que de nouvelles valeurs des fonctions jy et t: ^ après quoi on obtiendra l'argument Gr tellement approché de sa vraie valeur que l'erreur commise sera une quantité du second ordre par rapport aux vitesses ç , <t, , .... S'il était nécessaire, on pourrait renouveller les opérations indiquées, et ou arriverait finalement, par cette voie, à des valeurs de la longitude v et des fonctions jy et -, si exactes qu'on voudra.

38. Si la valeur de l'angle v est donnée, celles des fonctions /cos(.'J — 0) et 7sin(â — 0) s'obtiennent sans aucune difficulté. On y arrive en introduisant, dans les formules (48) du chap. Il, la valeur de v. Mais il faut

Traite des orbites ahsoturs. 17

130 Traité des Orlntes des Phmètes.

toutefois se rappeler que l'énoncé se divise en trois cas distincts, selon ce que nous venons de dire dans le n° 33.

Dans le premier cas, on emploiera les formules citées sans aucune modification, mais dans le second cas, on y changera c en ;„, r en r„ et 9 en S„, i„ étant le plus grand des coefficients anastématiques, le module y compris. Dans le troisième cas finalement, on cherchera d'abord, d'après les règles du u° 35, la valeur du mouvement moyen du noeud. Avec cette valeur, on formera de nouveaux agrégats périodiques, tout en analogie avec les agrégats (16), et on déterminera finalement les fonctions J et i2, dont la dernière restera alors comprise entre des limites données II ne sera pas, cependant, nécessaire de mettre en évidence, dans notre troisième cas, la vitesse moyenne du noeud, vu qu'elle disparaîtra finalement des formules; on pouiTait, au contraire, opérer de la manière qu'on a expliquée dans le n° 37, en établissant des équations tout à fait analogues aux équations (18). Les valem's de la fonction Q, évaluées au moyen de ces équations, augmentent hors de toute limite, et on aura, au lieu de l'équation (29) du chap. III, celle-ci:

Quant aux expressions de la longitude du noeud moyen dans les trois cas, on maintiendra, dans le premier cas, la formule (27) du chap. III; dans le second cas, on aura :

et dans le troisième:

r) étant le moyen mouvement du noeud, si celui du mobile est égal à l'unité, et <S', l'angle constant, déterminé de la manière qu'on a expliquée dans le n° 35. Qu'on se rappelle qu'eu vertu des équations (35) du chap. III les angles »9j et d sont isocinétiques, d'oii il s'ensuit qu'il en sera de même quant aux angles ê et 0.

39. Les quantités constantes que nous avons considérées comme éléments d'une orbite absolue, soit parce qu'elles sont supposées introduites par des intégrations, soit parce qu'elles dérivent algébriquement d'éléments d'autres orbites, sont des éléments absolus. Par cette dénomination j'entends