CHAPITRE II
Exjn'essions se rapportant à l'angle entre les rayons veetears de deux planètes,
47. L'angle que forment les rayons vecteurs simultanés de deux planètes s'exprime d'abord par les coordonnées rectangulaires de ces astres, ces coordonnées ayant la même origine que les coordonnées polaires. En effet, soient x , y , s les coordonnées rectangulaires, rapportées à des axes fixes dans l'espace, et r le rayon vecteur d'une planète; x', y', z' et r', les coordonnées rectangulaires et le rayon vecteur d'une autre; soit enfin H l'angle compris entre r et r' , le cosinus de cet angle sera alors donné par la formule
„ XX + y;i + zz'
(1) cos Ji = -. .
En utilisant toujours les notations du n° 19, et eu désignant par /' et h' la longitude et la latitude de la seconde planète, ainsi que par ]' le sinus de la latitude, l'expression signalée prend la forme
(2) cos H = cos h cos h' cos / cos l' + cos h cos h' .sin î .sin l' + 33'.
Maintenant, si l'on reprend les équations (33) du n° 32, ainsi que l'équation (49) du n° 23, et qu'on établisse de pareilles équations se rapportant à la seconde planète, eu désignant par v', f, F, etc. les quantités y relatives, on jiarviendra, après la substitution, dans l'écpiation (2), des valeurs mentionnées, à un résultat de la forme
(3) cos H = cos(v — v') + 11, où l'on a supposé:
l'iemi('i(' Piiilie. Livre II. 155
les coefficients liu , bj , h[ et b„ étant donnés par les formules que voici:
(5 , a) h^ = i ( , + f) /'^[cos (v - V') - cos (v + v' - 2 (,9, - 6'))]
— - ( 1 + f ) /'-[cos (v — v') — cos (v + v' — 2 {,% — G'))]
+ ^ //'[cos(v — v' — (<9, — ,</) + G — G')
+ ^, (l +f)(t +r)/'^"î''"S(v-v') -COS(v+v'-2(,7,-r,'))
f COS (v- v'- 2(,9, -fl'-G + G% (5, b) b^ = 1 ( 1 + fj / sin (v — v') sin (v — ,9, + G)
-^(i+fX. +f')n"[^i"(v-v')
— sin (v + v' — 2(fl\ — G'))] sin (v — *, + G),
(5, f) 1,; = — ; (i + i')T sin (v — v') sin (v' — n[ + G')
-f ^(i +fXi +f')i'/'[sin(v-v')
+ sin (v + v' — 2{f)^ — (V))] sin (v' — tt[ + G'),
(5 , d) 11, = J ( I + f)( I + f'j //' cos (v — v') sin {^ n^ + (/) sin (v'— ,% + (/').
Avec l'expression de li,, que nous venons de signaler, on déduit les suivantes :
-i(. + f)(i + î')^^'{i,^ + {)/■*' + (1 -f l'VOl -j7/'|2(.+f)r + 3(i+f)Z''^
- ^ ( I + f)( i + f) /•^/'•^! ^'os (,9, - r; - (,v; - G'])
('t*tte funiitile se roiitimie i\ la pngf suivante
15G Traité des Orliites des Planètes.
+ ^ (i + f)(i + i')Pl" cos 2[ft^ — G — [H\ — G'))
— J ( I + f)( I + £') -^ '^' '(( I + t') -f ■"' + ( ■ + i' V' ■-'] I cos 2 (v — V')
+ -^(1 +ffi^(l J(l +f')/'^)coS2(v-l-v'-2(^^--(:;)) + ^(l +f'j--7"(l— -^(l +f)7^)co8 2(v + v'— 2(d; — G"))
(i +f)-7' + (4 + (i +f)(i +f'))ri"-'
+ (i+f)(i+f')/'-7-(i-^(i+f')Z''^-^(i-ff)r)]cus2(v-d; + f^') -^(i +fXi +fri7''jcos2(v'-*; + ^')
+ ^^r7''^j8 + (i + f)(i + f)((i + f)i'-' + (i + f')/'=)!cos 2(v-v'-(,!/^-6') + *;- G)
+ ^ /7'-^]8 + (i +fj(i +f)(4-(i +i-)r+(,i +f')/'2)jco«2(v+v'-(/y -6V(*;-t?'))
— (i + f)(i + f)r-7''^|cos(2(v — V') — (*, — G) + *; — fr')
— (i +fj(i +f')r7'>m(2v— (,9, — (/)-(,9;-ro)
— ( I + f)(i + f) 77' = I cos (2v' — (//^ — G) - (/y; — G'))
Celte foniuile se cuntimie ;1 l;i p^ife siiivanle.
l'i'i'iiiiore Partie. Livre II. li'il
— ^(i + iy\i + f) ri" C...S 2(v — 2(,'/, — a) + *; — g') -^(i + i-)(i + f')'^r/"cos2(v' + ,v, - a- 2(fj[~ a'))
+ -J (i + f)7^/'co.s(2v — 3(/y, — G) + /y; — G')
-^(i + i')/^7'|4 — (i + f')/'>os(2(v + V') — 3(^ - r,') - (//; - G'))
(6,1)) /,^^--^{3/'-'+ 29Z'i'--'+ 29r/" + 32">-os(v-v')
+ 1^ //' 1 3 /' + 1 orr '+3i"\ cos (v — V' — (*, — f?) + (,'/; - r/'»
— ;^ 7'V'=(/^ + /'•-') cos (v — V' — 2(//, — G) + 2{,v; — G'))
— ^^ Pl\P + I") co.s (v — v' -h 2(//, — 6^) — 2(//; — G'))
+^7/'J3r + 8ri'^' + 3i"|cos(v — v' + *, — (^ — (,v; — r;^'))
+ ^ ri" cos(v — v' — 3(''A — 6') + 3(,V; — G'))
— 1^ 7/'|3/'+ I 1 7'-'7'-' + 3/"j (.os(v + V' — (//^— G) — (fl\ — G'])
+ :4r(3/' + 2Sr7'^ + i67") cos(v + V
+ ±-J\i(,t + 287'7''-' + 3/") cos(v + V — 2[fl{ — G")) + ^ 7'7'= cos(v + v' — 4(//, — G) + 2 (/y; — 6")) + l^^ PI" cos(v + v' + 2(//, —G) — 4(>'/[ — G)')
— ^^PI'\:,P + 47-^1 co.s(v + V' — 3(,9, — G) + (,'/[ — G'))
— ^^ir-'\4p + 3'^"le"^ (v + v' + (//^ — c;) — 3(,v; — c?))
-^{7" + 3/'/"' + ^l'I" + 7"=}cos3(v- V')
158 Traité des Orbites de.s Planètes.
+ ^ 77' I /' + 2 ri" + 1"! oos (3(v — V') - (*, — G] + >% — G')
— è ^'^"(^' + ^") "^"-'^oiy — V) — 2{f/^ — G) + 2(f}[ — G')) + ~ rr cos (3(v — V') — 3(,!/, — G) + Si,-/; — G'))
+ ^J\P + 2Pr + 7") cos(v - 3v' + 2(,\ - G'))
+ ^7''-'(i3 7' + ^oPr + 1") co.(v - 3v' + 2{d\ - G'))
— -^77137' + 47=7'^ + 7"|cos(v - 3V + '^ — G + ,v; — 6")
+ l^ ri" cos(v — 3v' — 2(,9, — G) + 4(ff[ — G-))
— 1^ 77'^|37' + 7'^î cos(v — 3v' — (fl, — G) + 3(*; - G')) + ^,7'=(7^ + 27=7" + 7") cos(3v - v' - 2(,9; - G'))
+ ^,P{P + io7^7"^ + 137") co.(3v - V' - 2(,'/^ - G))
— -^ 77' 1 7 ' + 4 PI' -' + I"\ cos (3 V - V' - (//, - (.') ^ (,'/; ^- G')) + 1^ 7'7'= cos(3v — v' — 4(*, — (0 + 2(/y; — G'))
— ^^7-V'{7' + 3^''j «)s(3v — V' — 3(,9^ — (r') + fi[ - G')
— ^,I'(P + 7'^) cos(v + 3v' — 4(''/, - G))
+ -J- 7'V'(3Z= + 2 7'=) cos(v + 3v' - Sl'*^: - f?) - {>'/[ - G'))
— -Lpi'\jP + 3 7'^j cos(v + 3v' — 2(,'y, — G) — 2{f>[ — G')) + ^ 77'-''|47= + 7''^| cu,s(v + 3v' — (//, — (/) - 3(A/; — G'))
— ^6^V' + 9/") cos(3v + V' — 4('^ — G))
Preniic'ie Partie. Livre IL 159
3 7-(r + /'-^)eo.s(3v + v'-4W-f?'))
+ Û ^'^' cos (3v + V — 5(*, — (5) + //; — G')
+ à^^'V-^' + 3^'') cos(3v + V' - (,9, - G) - 3(//; - G'))
— -^^I'l"i3l' + 7I") cos(3v + V' — 2{â^ — G) — 2(>% - G')) + i ^'^'U' + 4I"] fos(3v + V' — 2,{>\ - G) — {H[ - G'))
+ à^" cos(3(v + v') — 6(,9, — G^))
— -|^ 7-7' cos(3(v + v') — 5(,V, — (/) — (H[ — G'])
— ~ Jl" cos (3( V + v') — (//, — G) — 5(,9; — G')) + ^ 7'i'* cos (3(v + V') — 2(,9, — G) — 4(,9; — G'))
— ^ 7^7'^' cos(3(v + v') — :,[,\ — G) — 3('9; — G")).
Dans cette dernière expression, dont chaque terme est du sixième degré, on a mis l'unité au lieu des facteurs i + i' et i + f, vu que les quantités f et f sont du deuxième degré et que nous omettons généralement les termes d'un degré plus élevé que le sixième.
On aurait pu encore, dans l'expression de hl, changer v et v' en v et v' , et supprimer les ([uantités G et G', parce qu'elles sont du deuxième degré. C'est pour garder l'uniformité des arguments que j'ai évité un tel changement, du reste sans importance.
48. Après avoir obtenu les expres.sious de hg , ho et hj, nous pas.sons à chercher le développement de la fonction cos «H, n étant un nombre entier.
J)'abord, si n est un nombre pair, on expi'iraera la fonction dont il s'agit moyennant la formule
cos nll = I sm 7/ -\ sin 77 — ... ;
160 Traité des Orbites des Planètes,
et si l'on y introduit la valeur
siu IP =^ siu (v — v')' — 2I1 CCS (v — v'j — Ir,
(jui dérive immédiatement de l'équation (3), il viendra:
cos nll ^= cos n (v — v')
+ 2^ ^snifv — v)-
+ 3 — sm ( V — V ) — ... 2 11 eos ( v — v ) -f h
Evidemment, on pourrait de cette formule tirer les coefficients des diverses puissances de — (2hcos(v — v') + li^) sous forme d'agrégats périodiques ne dépendant ])as d'autres arguments que des multiples du seul angle v — v'; mais on y jiarvient plus promptemeut de la manière suivante.
Il est aisé de voir que, si l'on désigne sin 7/^ par .-r , la formule précédente peut se mettre sous la forme
COS nil = cos n (v — v ) (2 h cos (v — v ) -\- h )
\ (V- cns nlI , ,,,50
+ T:^ ^^ÏÏ^^"^-'' *'""*'' ~ ' ' + '' ^' — ■ ■ ■ '
sons réserve, toutefois, qu'après avoir opéré les différentiations demandées, on remplace II par v — v'.
Or, la première dérivée de cosj^H pnr rapport à x s'exprime moyennant la formule
d cos nH BuxuII
(h: sin 2fl
d'où l'on conclut, si l'on écrit 2)ii au lieu de n et que m soit un nombre impair:
fï cos 2 W. [I
— -J-— = — 2 ;h [ I 4- 2 cos 4 // -j- 2 cos 8 // -f . . -)- 2 cos 2 (»? — I ) •'^l ;
