Première Partie. Livre II. Itll

dai)S le cas opposé, savoir si ni est un noinbr(; pair, re\-])ressi()n do notri' dérivée devient:

il COS 2mII , r II , 1 / \ ii\

T-^ = — 4)» [ COS 211 + COS 611 + • ■ • + i^'os 2 [m — 0 ■'^1 •

On est donc arrivé à exprimer la fonction ces «H, en tant qu'elle dépend de la première puissance de h, et dans le cas d'une valeur paire du nombre n .

En dift'érentianf, par rapport à rr, les équations dernièrement obtenues, et en remplaçant les termes se produisant dans les seconds membres, par leurs expressions tirées des équations mentionnées elles-mêmes, il résultera:

a) m étant un nombre pair,

+ i'''"(3 + 5 + + '" — 0 eus 4/7

+ 16;» (s -|- . , . 4- 7;/ — i) COS S//

-)- \ 6111 (m — i) COS 2 (y» — 2)//;

b) lit étant un nombre impair;

16;» (2 -j- 4 + 0 4- . . . + «/ — 1) COS 2// + 16;;/ (4 4- 6 4- ■ • + "' — i) COS 6// + . . .

-f- liUll{lll l)c(is2(y» 2)//.

Rien n'empêclie de continuer ces formules, les déduisant par des o])érations successives. Cependant, les dérivées supérieures devenant assez compliquées, je n'ai pas ju^^v convenable de jioursuivre leur déve]o|)pement.

C'est de même quant aux dit<'s fonctions appartenant au.x valeurs impaires de 11. Jjien qu'on ait, 7/ étant un nombre impair:

!i-^^^^^sin7/-4-^'""''^^'"~^^ I 1.2 I .2.3.4

Traité tics orliitcs nhsoliics. gl

COS»// = COS // 1 —- ^sin ir- + "-- '^^ ^'sin H' — .

1G2 Traité des Orbites des Planètes,

et qu'oïl eu puisse déduire un résultat de la forme

cos n Fi = cos n (v — v') + M ; — *iii (^' — '^'O "■+"■•■ r^

lu- — I- {ii^ — \-){n° — 2") 2 I 5

+ 2 ^sin (v — V ) + . . . 2I1 cosfv — V )

les opérations algébriques pour mettre eu évideuce, sous forme d'agrégats périodiques, les' coefficients des diverses puissances de h, seraient assez laborieuses, notamment si 11 était un grand nombre. La méthode que je viens d'indiquer pour le développement des fonctions dont il s'agit, n'est donc pas, à tout égard, satisfaisante, bien (|u'elle en donne, très facilement, les premiers termes.^

Mais la complication, qui paraît inhérente à notre problème, ne tient pas autant à la nature des coefficients qu'il s'agit d'établir, qu'à la manière indiquée de les déterminer. Eu effet, si, au lieu de chercher ces coefficients par des formules algébriques, qui les donuent indépendamment, les uns des autres, on se sert d'un algorithme au moyen duquel on les déduit de proche en proche, les résultats s'obtiendront assez facilement, du moins si le nombre » n'est pas très grand. C'est par une telle méthode cpie nous allons résoudre, dans le numéro prochain, notre problème.

49. Admettons que la fonction cosnH soit donnée par le développement fini:

(7) cos«7/ = cosh(v— v') + V„,h + r„Jv + . . , + 'I',. „h" ,

les 1' étant des fouctinns dépendant uniquement de l'angle v — v'; en multipliant cette équation, membre par membre, par celle-ci:

cos H = cos (v — v') -|- h ,

' On jimirrait t<iutefuis cherclier les dévcloppenieuts demandés au moyeu de la formule •

...,__ I, /d cosnH\ I , „/d- cosnH\

i \ d cos H /h=v-v' I ■ 2 \(d cos HyJ jr^y^,. et on obtiendrait ainsi les coeti'icieuts des diverses puissances de h tout-à-fait identi<jues avec ceux qu'on va trouver dans le numéro prochain.