IT
\/ir — r„){)\ — r)
ce qui entraîne la suivante
,i,^é IM± .
et si l'on admet la notation
^^^ r yj7^F{r)dr
V signifiera l'angle entre deux apsides, en entendant par ce mot la direction vers un maximum ou vers un minimum du rayon vecteur.
Traité des orbites at'snlitcs. o
10 Traité des Orbites des Plauètes.
Par la formule précédente, on conclut immédiatement que l'angle entre deux apsides consécutives est toujours constant, propriété des courbes en question, reconnue déjà par Legenore. Mais, puisque cet angle n'est qu'exceptionnellement multiple ou une partie aliquote de la circonférence, les apsides tombent dans toutes les directions, de sorte que la ligue périplégraatique se coupant, elle même, une infinité de fois, forme un réseau entre les deux cercles.
Evidemment, la nature périplégmatique d'une courbe définie par l'équation (5) est due aux valeurs de /7 oscillant autour de l'unité. Or, si l'on a posé:
cette propriété de ïl tient d'abord aux variations du rapport - ayant l'unité
pour valeur moyenne, mais elle provient encore des changements de la fonction V qui pourraient s'écarter des deux côtés de zéro. On retrouve ainsi, après avoir introduit la fonction p au lieu de r, la condition signalée vers la fin du n° précédent.
Il sera quelquefois utile d'introduire une troisième variable indépendante. Désignons-la par ?f, et par /3, une constante à choisir plus tard. Admettons finalement la relation suivante entre v et u:
dit = — = dv,
ce qui entraîne celle-ci entre u et 7:
du = ^ ,
et nous aurons au lieii de l'équation (7) la suivante
Il convient d'ajouter celle-ci
qui s'obtient immédiatement eu remplaçant /( ou - par v.
Preiuit'i'o Partie. Livre I. 11
3. Elucidons par rpiL'hjuL'S exemples les formules (pie nous venons de déduire duns le n" précédent.
En admettant d'alxird la fonction // égale à zéro, Texprcssion (3) donnant le rayon de courbure sera infinie. Il en suit (|ue la trace déterminée par l'équation (7) est une droite.
Cherchons ce résultat d'une antre voie.
Puisque la condition tpie // oscille autour de l'unité n'est pas satisfaite, on est certain dès le déhut que la trajectoire n'appartient pas à la catégorie des courbes périplégmatiques. Mais voilà seulement un résultat négatif: pour dévoiler la nature de la courbe, examinons l'équation (4) après y avoir annulé la fonction //. En désignant par c^ et c^ les deux constantes d'intégration, on obtient
ou bien, si l'on met:
- ^ C(, sin V -f- Cj cos v, a; = r cos v ; y ^= >' sin v ,
C'est là l'équation d'une droite.
Etablissons encore l'expression de *■ en retenant r comme variable indépendante.
Si l'on met, dans l'équation (7), // égal à zéro, et qu'on écrive — /* au
lieu de h , elle s'écrit ainsi :
rdr "
donc, en désignant par — //r,, une arbitraire, la relation finale entre r et r sera:
Ce résultat permet une construction géométrique assez simple: en effet, r est hypoténuse d'un triangle rectangulaire dont les cathctes sont y - et
(r — ^„)v'/'- Oii peut donc placer le système des coordonnées rectangulaires de manière qu'on ait:
12 Traité des Orbites des Planètes.
Supposons dans un second exemple // égal à - . En introduisant cette valeur dans l'équation (9), il viendra:
l /dr \^ h ., , 2r
et on en tire, après avoir égalé à zéro le second membre de cette équation,
l'h pli V c
La condition qu'il faut remplir pour avoir toutes les deux racines réelles et positives, s'exprime au moyen des inégalités
ou bien, en mettant:
par celles-ci:
La formule précédente donnant les deux racines se change donc en la suivante;
r = rt(i ± e),
et on obtiendra, après avoir adopté les valeurs
/5 = y/â; c = rt(i — e')
l'équation
dr
du =
Dans notre troisième exemple, nous allons admettre // étant un coefficient constant.
Premièi'L' Partie. Livre I. 13
Cette expression de // dépeiidaut non seulement de r mais aussi de
-7- , il en résultera néanmoins une cfiuation différentielle (lui s'intègre immé-
diatement. En effet, si l'on introduit l'expression dont il s'agit dans l'équation (2), on en tire la suivante
dont rintcOT'ale est:
où l'on a désigné par ji^l la constante d'intégration. En posant :
/ ^ I ; iido == dt ,
on retombe dans les équations:
dv I Jr
dt^y ^ = v'-('--2)%
que M. PoiNCAKÉ a traité dans son mémoire «sur les courbes définies par les équations différentielles^.
L'intégrale complète de notre équation différentielle se met sous la forme
r = 2 — cos(/iy + ^')'
C étant une seconde arbitraire. En y supposant /i incommensurable avec la circonférence, on en déduira facilement les projjriétés de la courbe signalées par M. PoiNCARÉ, notamment celle que la courbe s'entortille autour du centre des deux cercles en sillonnant la couronne entre eux de manière (jue les points d'intersection remplissent entièrement cet espace.
Si l'on introduit, dans l'expression admise de fl, les valeurs de r correspondant aux apsides, à savoir:
on obtient les deux résultats que voici:
/7= I-/.^ //= I +-^/ui
14 Traité des Orbites des Planètes.
Doue, si /i est moindre que Tiiuité, l;i (juantité // — i prend des valeurs alternativement positives et nt'gatives sans que // devienne jamais négatif: en conséquence, la courbe est périplégmatique dans le sens de ce mot que j'ai établi dans le premier numéro. Mais si au contraire /j était plus grand que l'unité, ou rencontrerait des valeurs négatives de /7, ce qui entraînerait des changements dans le sens de la courbure, de sorte que la courbe serait alternativement concave et convexe vers la circonférence intérieure: dans ce cas, la courbe cesserait d'être périplégmatique.
4. Venons maintenant à un exemple qui présente plusieurs analogies avec le type dernièrement considéré, mais où les courbes, contrairement à ce qui avait lieu dans le cas de M. Poincaré, ne changent pas le sens de la courbure. Pour y arriver, supposons:
= L±Ap
/îj étant une constante cpie nous supposons plus petite que l'unité.
Avec cette expression, nous aurons immédiatement de ré(juation (4) celle-ci :
d'où Ion tire, en désignant par y. et /' deux arbitraires,
/> = ;fcos[(i — c);;- — /'], le coefficient de v étant donné eu vertu de la formule
D'un autre côté, si l'on porte la valeur adoptée de fl dans l'équation (9), il viendra:
/9V1I-/9.) Un) - c(i-y?.r' "^ j, ''
