Première Partie. Livre I

et si l'on suppose, dans cette équatiou,

/5 il s'ensuivra:

d'où l'on tire:

du =

r = «(i — X eoau).

Puis, eu admettant la notation

il sera facile d'obtenir les expressions

I ' y C03 w du = — df; (i — X coiiii)dii =^ (i — c)«~^c?r

après quoi, en les intégrant, on parvient aux résultats

taug - /" = y : tang -u; ( i — ç) a - (t — rj = h — / siu u ,

la constante arbitraire, introduite par l'intégration de la seconde équation

différentielle, étant désignée par — (i — ç)a ''t^.

On obtient finalement r en fonction de f au moyen de l'expression

I + xcosf

Qu'on remarque l'analogie des formules que nous venons d'établir avec celles de notre deuxième exemple: il n'y a, en effet, entre les deux systèmes de formules qu'une seule différence, à savoir que, dans les formules de l'exemple présent, l'argument f remplace l'argument v figurant dans les formules du second exemple. Cependant, la nature de la courbure, définie par l'équation précédente, est bien différente de celle d'une ellipse; elle a cela de commun avec l'ellipse, il est vrai, de rester toujours périplégraatique, pourvu que l'arbitraire x soit inférieure à l'unité, mais elle jouit, comme

16 Traité des Orbites des Planètes.

les courbes de M. Poincaré, de la propriété d'avoir une infinité de points d'intersection. Cherchons à les déterminer.

Dans ce but, concevons deux points de la courbe dont les longitudes diffèrent, l'une de l'autre, d'un nombre entier de circonférences. En désignant ces longitudes par î'^, et Vn^, k et l étant deux entiers quelconques dont la différence sera d , de sorte qu'on ait :

et par F, ,, , la valeur de «'^ , ou de v, ^ qui subsistent lorsque A' ou 1 est égal à zéro, on aura:

ih., == 2/.-7r -f F,.,; V,., = 2/7r + F,.,.

Puis, pour établir l'égalité entre les rayons vecteurs appartenant aux longitudes signalées, ce qui est nécessaire pour déterminer un point d'intersection, il faut qu'on ait:

(i — C)?',, — /' ^ 2li7r+ {i — c)v,.t. ± /',

Il étant une troisième entière prise à volonté. Par les relations établies, on obtient:

d'où il est immédiatement visible qu'il faut prendre les .signes supérieurs. Cela posé, nous aurons:

Avec cette valeur, il sera facile d'arriver aux expressions:

(i-ç)r,,,-/^=[/^ + '/(i — C)]7r, (i-c)r,,-r=[A-r/(i-c)]7r; donc, si l'on admet It égal à /.■ + /, il viendra:

(i — ç)Vk.i — /"' = 2/,-7r — f/ç;r, (i -C)r,, — r= 2/;r +<kr.