Première Partie. Livre II

+ 5 I" COS (V + V' — 2l^' — 2{iï — 0'))

+ l ir COS (v — v' — (,y — J}') — (ii — 0) + ii' — 0')

+ 1 ir COS (v — v' + {Il — }}■) + ii — 0 — (il' — 0')) — lir cos(v + v' — (,v + y) — (il — 0) — (ij' — 0')).

pjvidcnnncnt, en inultipliiuit les diverses expressions par une fraction

rationnelle de la forme ~ , on ijourra les continuer aussi loin qu'on

voudra, toutefois en ne considérant que les termes dont les arguments sont soumis à la condition

Je vais maintenant chercher les termes du quatrième ordre, me restreignant toutefois à n'en signaler que les plus essentiels, parmi lesquels je compte ceu.x qui satisfont à la condition mentionnée tout-à-l'heure. Les termes dont il s'agit dérivent, dune part, de la fonction h,, elle-même, qui renferme des termes multipliés par /', 7'/'^ et /'', d'autre part de hj. La partie du quatrième degré contenue dans h^ s'ohtient facilement, si l'on

remplace, dans l'équation (5, a), f -çax -P et f par - r'\ valeurs qui dé-

coulent des équations (30) et (34) du n° 32. Voici la partie en question: h„ ==--^(/'7^i-+/-)cos(v-v')

+ {^1\P — 1") C0S(V + v' — 2,V - 2(il — 0))

— -^/'V^ — 7'Vo«(v + v' — 2y — 2(!J'— 0'))

+ }.J'I" COS (v — v' — 2(J}~ }}') — 2(i> — 01 + 2(i>' — 0')).

Eu introduisant, dans l'équation (7), cette valeur de h^^ au lieu de h, et en omettant daus le résultat les termes dont les ajg'umeuts ne satisfont pas à la condition

i^ + î < 2, il en résultera:

172 Traité des Orbites des Planètes.

Termes du quatrième degré provenant de li^ .

cos//-— -^(7' — 7=7'= + 7'Vos(v — v')

+ ^J\P — I") COS (V + V' — 2j} — 2(fJ — 0))

— ^7'V — 7'^)cos(v + v'— 2n— 2('J — Q'))

+ ^7V C0S(V — v' — 2[n — ,/) — 2[il — 0) + 2{ii' — 0')),

+ J 7-7'= COS 2{'J^ — ,y + i> 0 (ij' 0'))

+ \ P{P — 7'=) COS 2(V — ,V — [il — 0)) + ^ 7=(7= - 7'=) COS 2(v' — Il — [ii — 0))

— l r\P — 7'=) COS 2(v — n' — (Lî' — &])

■ r\P /'^) eus 2(V' — 1/ — (il' — 0')),

COS 377 = — I (7' — 7V'= + 7") c()s(v — v')

+ ^7=(7= — I") cos(v + V' — 2,y — 2{ii — 0))

-^7'X7= - 7'=) CU8(V + V' - 2,y' - 2(iJ' - 0'))

+ :^g 7=7'= COS (v — v' — 2(,y — ,y) — 2{i> — 0) + 2{ii' ~ 0'))

+ f. P{P — 7'=) COS 2(v — ,y — (il — 0)) + f,7=(/= - 7'=) eus 2(v' - ,y - Ci - 0))

— ^ 7' =(7 = - 7' =) COS 2 ( V - y — ( ii' — 0' )) , ~fJ\P — 7'=) COS 2(v' — n' — (ii' — 0'))

— f,Pl" C0S(V — v' + 2(,y — f,') + 2(ii — 0) — 2(i>' — 0')),