Première Partie. Livre II

C0S4H = —'-{!' — ly + I")

-{- -J'I" eus 2 (/y — ,y' + li — 0 — [M' — 0')) + 1 Pi^p r') cos 2(v — 7y - (L> — 0)) 4. ! i'(7^ 7''^) eos 2(v' - ], - (<J - 0))

cos 5// = — I (i' — /=/'- + 7^) cos (v ■— v')

+ f^ / \I '—n cos (v + v' - 2 ,v — 2 ( il '- 0)) .:

— f-^r\P — /") C0S(V + v' — 2y — 2(iJ' — 0'))

etc.

Aussi ces expressions se continuent-elles en multipliant par l'e.K-

pression de cos nH qu'on a mise en évidence; ou obtient ainsi les termes de cos(rt -\- 2)H dont il s'agit ici.

Quant aux termes du quatrième degré provenant de hj , on les déduit en jnultipliant, par la partie du quatrième degré de b^, les expressions des ^'n,2 signalées plus liaut.

Voici d'abord la partie de b'^ dont il s'agit:

— \ ir[P + I") cos {n — n' + a — 0 — ai' - &)) + ^ PF'' cos 2(,y — h' + Ll — 0 — [il' - 0')) + ^(7^ + /''0^cos2(v-v')

Cette formule se contîmie à la page suivante.

174 Traité des Orbites des Planètes.

+ ^7' COS 2(v + V' — 2^ — 2(li — &))

— ^^r\r- + 57'--') COS 2(V — // — (il — 0))

-±r{r + /''o COS 2(v' - ,> - (i> - 0))

— i-,r\P + /'^) COS 2(V - lï — (<>' — &))

-^/'X5/^ + n COS 2(v' - ,y - {<>' - 0'))

+ J 7^7'^ COS 2(v — v' — (7y — 7j') — {ii — 0) + L>' — 0')

+ il 7'V COS 2(v + v' — (,V + ÎJ') — m — 0) — {<!' — 0'))

— ~ ir{P + 7'-) COS (2(v — v') — (,y — ,y) — (i' — 0) + il' — 0')

+ J 77'(7^ + 27'-0 cos(2v — (7/ + '>') — (^^ — 0) — (ii' —0')) + J 77'(27' +7'=) COS (2v' — (,y + TV) — (U — 0) — (il' — &')) + I PI' cos(2v — 3ff + ë' — i(ii — 0) + ir — 0) + 5 77"^ COS (2v' + ,y — 2>1}' + -'"' — 0 — 3(-'^'' — 0'))

— ^ rr COS (2(v + v') — zn — 1)' — 3(i> — 0) — (i>' — 0'))

— l II" cos(2(v + v') — 7/ — 3'V — (i^ — 0) — 3(ii' — 0')).

]\Iaiiiteuant, eu effectuant les uiultiplicatious iutliquées, et eu omettant les termes dont les arguments ne satisfont pas à la condition

p + q<2, on arrive aux

Termes du quatrième degré provenant de \i'„.

Dans l'expriission de cas H, il n'y a pas de tels tcrines; dans rexprcssioii de C0S2ZÎ, ces termes s'obtiennent tout simplement en multipliant, par 2, l'expression précédente de li^.