Deuxième Partie. Livre V

quand on développera la dérivée de la dite fonction par rapport à r'. Puisqu'entre ces deux dérivées partielles, il existe la relation

dr ' dr Va

on conclut facilement, en considérant les développements suivant les ly avec lesquels ceux qui suivent les C doivent être analogues, l'égalité

(i) TiT-" + :r = — mfr-

Mais allons chercher les Cf" au moyen d'opérations dh'ectes. Dans ce but, reprenons l'équation (i) du n^ 74, première Partie, et formons en la dérivée partielle par rapport à r'. Nous obtenons de la sorte:

+ (7) '"-^+-'(7) '•-^oos77+....

Maintenant, si nous établissons la notation

et que nous nous rappelions celle-ci:

d'où il s'ensuit:

et partant:

r -^, dr

Zr ' ^Z

nous parviendrons à la formule

Traité des orlntes absolues.

Cela étant, nous admettons le développement

{■^) J-'n — so — "^i / 'r ^i X — • • •

tout analogue à celui-ci :

^» — /o fi X > Ti / • • •

que nous avons établi dans le numéro 79.

De la formule précédente, il découle maintenant:

D<"" = 2(1 —x) I- rr + ^r^-"x- irs-"x'' + • • ■ 1 — i"i -h n) \fr — rrx + r7"x"- —

ce qui nous donne, en comparant les deux expressions de D*„"'',

(3) cr = — ['« + » + 2i] rr — 2 (/■ + o;---; •

Eu vertu de la formule

on obtient finalement

cr" = —rfr— mrT\

ce qui n'est autre chose que la relation (i).

En vertu des formules (c) et (d) qu'on a données dans le numéro précédent, il serait facile d'établir plusieurs expressions nouvelles des transcendantes C, les représentant comme fonctions des transcendantes ^. Je me restreins toutefois à celle-ci:

(e) ^7" = -L--l^L(^i lJ) «=-»{(2é + i)^-+3. + (,, + ,, ,)^fix-\.

Une certaine partie des transcendantes if'" qu'on va trouver dans le tableau ci-dessous ont été calculées de deux manières différentes, et de la sorte, vérifiées; mais quant à la vérification de la plupart de ces nombres, le lecteur est renvoyé au numéro suivant.