Deuxième Partie. Livre V

De ces relations, nous obtenons immédiatement, en considérant le développement (6), les formules suivantes qui constituent des conditions auxquelles doivent sati.sfaire les divers H"^"'*^:

a) Si i est égal à zéro.

(II, o)

Hni,H,0 0.0.0.0 — * T

Hm.n.fi I XTm.rj.O . ,,, i ^ o.n.i.o + -H-o.o.o.i — -'"■ + i>

H W, 71,0 TTm,»,0 I XT"»,«,0 0.0.2.0 CLfl.O.l.l r -^-0.0.0.2

etc.

— i' B.:y;i + i: il:::% = {2m + i)^

V TT'""." V W".".o L y- TT,„,„,o (2m + 1) (2m + 2)

etc.

ZtTm.n.O 1 X^ TTm,n,0

y "TTm,»,o V TT"'.".» ! T H'".».» (2»' + iy-2m.{2m + 2)

etc.

b) Si hi valeur de i est différente de zéro.

(III, o)

TTm,n,

• -fci-0,0',

i' 1^ TXm,7i,i

TTni.w ^0,0,'

TTm,H,

i 1^ TTm,n,l

etc.

(ni,k)

ZJTm,n,i

s + s' = ifc

tLs.^', 1,0 + ^ Jis.s'.o.i = o, etc.

80 Traité des Orbites des Planètes.

Dans ces dernières formules, on a désigné par k un entier positif quelconque.

En inspectant les valeurs des différents Hs'^"'J,,' que nous avons données, soit dans les n°' 77 et 78, livre III, soit dans le numéro précédent, on s'aperçoit sans peine de l'égalité entre les sommes effectives des coefficients dont il s'agit et les valeurs que doivent acquérir ces sommes selon les diverses formules (II) et (III).

1 4. Venons maintenant à la méthode qui s'appuie sur la représentation des i2"' (w , s , s')„ „. au moyen des transcendantes ê"''" , introduites à la fin du n° 81, livre III.

Nous rappelons d'abord l'expression

(9) (y"(j')"cr-' = ZZZ)-»", '

les Z*"';" étant formés des transcendantes ^™'" d'une manière tout à fait analogue à celle qu'on a employée à exprimer les C],-^' par les ;-]". Nous avons, en effet,

7)™;? = rf^Lf} — &'rn:i + Ç'"Z1;1. — . . . ,

oii les L^s'^ sont les mêmes fonctions de la quantité

qui figurent dans les formules du n° 74, livre III, et qui sont données par l'exjjression générale

TU) T/'l.O i l.'-;,l | -[.'-«,2 Ji i

Or, si nous admettons:

et que nous introduisions les valeurs des Z^'^^. dans l'expression précédente tle -Dây, nous aurons, eu comparant les coefficients des diverses puissances de a, le développement

On comprend facilement que la manière d'employer l'indice m est un peu différente de celle qu'on a adoptée dans le n° 74, livre III.