Deuxième Partie. Livre V

Si l'on y introduit les valeurs

(20) /• =tnW^-\ ^\-) -

'' dr "* ' 1.2. ..ma'" \aj \a /

dr

I ■ 3 ■■■ (2m - i) /r\ " /r'\ "■ ^ \ A ' "■"•■ i.2...7««'» W UV dr

3)- 1.2. ..?««'" \a/ \a / dr

lesquelles on obtient facilement en veiiu des équations (30) du n° 80, livre III (voir aussi les formules à la fin de la page 417, tome I), il résultera

dr'

3/-' "" 1 '/ \a/ Uv dr'

(21') ,-'-^i^=r'-^ + U 1 -, ,-'^^+ TF, /i

\ 2 .a \a/ \a / dr ' I

Mais ces expressions renfermant encore les dérivées j^artielles de la fonction — , ces dérivées multipliées par des facteurs de la forme const.

-j (- j , il faut qu'on transforme les produits qui en résultent d'une

manière convenable. Dans ce but, nous allons remplacer les produits mentionnés par des développements, semblables à ceux par qui sont exprimées les fonctions W^.

On pai*vient à établir les développements demandés en se rappelant la formule (26) du n° 79 que j'écris maintenant ainsi:

,1- ' Vf'\ 2m + 3

112 Traité des Orbites des Planètes.

Cela étant, convenons de la notation

et rappelons-nous l'expression

(f) £(?"■+" = 2yJ"'+''" — 5yî"'+''7 + . . .

que nous avons donnée au n° 79. Ou comprend alors facilement que les £ '" (w , s , s')„ „■ sont formés des transcendantes )yf"+''" d'une manière analogue à celle qui a servi à exprimer les £'"(«, s , s'),y eu fonction des ;-?"'+'■". On aura donc:

(23) £"■(« , s , H'iy = 2:H:-;:,,r;?'"+''",

les H"^";' „. étant les nombres que nous venons de donner, au u° 1 1 , en fonction de n.

Soit maintenant ^'"' (w , s , s')„y ce que devient }'"'(w, s, s')„,. lorsqu'on remplace, dans l'équation (20) du n° 86, livre III, ou bien dans les formules du n° 17, les ii"'{n , s , s'),y par les £"'"(«, s , s'),,. : il viendra alors: