Deuxième Partie. Livre V

En admettant toujours les notations du livre III, dans l'espèce celles-ci:

( I — :y') F-* = Pi,"" + 2P("') cos w + . . . ,

[P-Cw.s.sOo.o — P"'(«,s,s'),.o^' + | + ...

on obtiendra:

/ip(m)___V V

ou bien:

et ensuite, en considérant la formule (28), l'expression que voici: (32) V"{n,s,s'ly

En partant de la formule

(29') aP'=f,i^^yr^'"^Jr,

on aura une expression analogue à la précédente. Les résultats seront en effet:

et finalement:

a4p:w = (i -^'^)(. -p' + p"-. . .)rr\

Pt

aP'^C^.s.s'Xy

r'"(«, s, s' — l).,,, + r'"(«, s, s' — 2ly,

r '" (w , s , s' — I ly, + r-" (n , s , s' — 2),y, -

lltî Traité des Orbites des Planètes.

Quand l'indice m devient égal à zéro, les fonctions f' coïncident avec les S, d'où il s'ensuit la formule

{33) P(«,s,s'Xy

— ^{n , s , s').,,„' + £■(" , s — I , s')„,„. — £■(«, s — 2 , s'),^,,.- + . . . , ainsi que celle-ci:

{33') aP'(» , s , s')„y

= —£'(«, s, s'Xy +£'(«, S, S'—.),, -S'{n,s,s'^2)^y +...

Par les jn-océdés que je viens d'expliquer, on parvient à représenter les P'" (« , s , s'), „■ moyennant les transcendantes rjf"''^^-" ou bien, quand m n'est pas égal à zéro, par ces transcendantes avec les fl'"'^^'"; et de même, à représenter les P"" (" , s , s'), .y par les transcendantes f :"'+'■", ou par les Ci"'+'" avec les fi""^^-" . Mais on peut aussi exprimer les P en fonction des C et réciproquement, les P' par les rj . Surtout quand les indices v et v' sont égaux à zéro, une telle manière de représentation peut être avantageuse, parce qu'alors les P s'expriment par les P' seuls, au moyen de la relation

tandis que, si les indices v et v' ont d'autres valeui's, les relations entre les P et les P' sont moins simples. Voilà les relations qui ont servi à déduire les expressions suivantes.

P(«, O, O)o.„ = — ;yj

V{n, i,o)„.„= («+ i)3ji'" + 2r/,'", !"(", o, i)„„ = aP'(«, I , o)o,,