Deuxième Partie. Livre V

D'autre part, si nous considérons les valeurs

Arr = - «^ ^rr = o, etc.,

nous aurons, par l'équation (6),

Mais les valeurs résultant de cette formule doivent être identiques à celles ciui dérivent du développement de — a'f^j . En consultant toutefois les expressions des coefficients H^;";" „. que nous avons données au n° 12, nous nous convaincrons facilement qu'U en est ainsi.

On aurait obtenu le même résultat si, au lieu de faire usage de la formule (6), on avait employé les expressions des coefficients i2'(« , s , s'),,^' qu'on a données au n° 15.

Considérons, pour établir un second exemple, la différence

Evidemment, les incréments qu'il faut joindre, dans le cas présent, aux coefficients i2', s'obtiennent au moyen du développement

— (;)'= — (i + iP + 3,0' + ,«')(' + or/' + àr/ + ...).

Cela étant, si nous introduisons, dans les expressions des 'il' données au n° 31, les valeurs des

A^!'" = Arr

que nous avons établies dans le numéro précédent, il faut que nous obtenions les mêmes coefficients numériques qui résultent du développement précédent. Le mode de calcul, pour arriver aux résultats demandés, s'expliquera mieux par un exemple.

■'a\ ^ Par le développement de — ( " ) > ^^ ^^^^'^ ^^ pi'emier lieu

Ai2'(o, 4, 0)0.0 =- o-

Or, en substituant, dans la formule qui donne i2'(o , 4 , o);, „ en les ê, les valeurs des A??]'" au lieu des &]'" , il faut qu'on ait:

condition qui est satisfaite, évidemment.

33. A l'occasion de la vérification de nos formules précédentes, il conviendra de mentionner encore un autre mode de contrôle. A ce propos, je pense à l'application de quelques relations dérivant des formules

relations qui nous permettront d'exprimer les coefficients appartenant à l'indice vi moyennant des coefficients semblables mais où m est remplacé par m -{- i.

Introduisons, pour obtenir les relations dont il s'agit, les développements (11) du n° 85, livre III, dans la première des formules signalées. Dans le résultat qui provient ainsi, égalons à zéro les coefficients des diverses puissances de li, et nous aurons de la sorte les relations

QW = — R'»)sinw,

Q<'> = — E('>siuw, etc.

Cela étant, si nous considérons les deux dernières des formules (12) du numéro cité, et que nous admettions égales à zéro les sommes des coefficients appartenant au même multiple de w, il en résultera les équations

2TFW = {m + i)(IF;,"''"— TF!;"+"), 2.2 IF'"') = {m ^- i)(TF("'^"- TF("'+'^), 2.3TFi;"> = {m + i)(TFr-'" ~- ^F^+'O, etc.

Mais les TF^'"' s'expriment aisément au moyen des développements infinis procédant suivant les puissances de p , p' , r/ et r/\ Le type général