HOR AIR E S

de Nantes.

de Paris.

oh. i

io i

io

34 ii

Si le plan vertical Z N était déclinant , il serait nécessaire de connaître l'angle qu'il fait avec le méridien.

Alors ) dans les triangles p Ni , p JV2, etc. J l'angle pN 1, n'est plus droit, il serait égala l'angle que fait ce plan vertical avec le méridien , angle qu'il est facile de se procurer. Le coté p N est toujours égal à Z P ou au complément de la latitude. Enfin , les angles qui sont en p sont de i5° , 00 ° , 45° , etc. , Ainsi, au moyen des principes connus de la trigonométrie sphérique , on trouvera aisément les côtés Ni, N 2, etc., qui mesurent les angles horaires.

Si le plan vertical donné était le méridien même ou le plan Z R N 3 fig. 1 , tant que l'axe sera dans ce plan , il est aisé de voir que l'ombre sera toujours l'axe lui-même et ne pourra par conséquent indiquer les heures. Mais si l'on éloigne l'axe parallèlement à lui-même , il projettera son ombre sur des droites toutes parallèles et que l'on pourra marquer sur l'intersection de l'équateur avec le méridien.

Soit E P Q P\ le méridien d'un lieu, fig. 2 , P P' l'axe de la terre , pp\ une ligne parallèle à l'axe et E Q la projection de l'équateur sur le plan du méridien. On suppose la ligne p p\ qui sert de style , attachée au plan du cadran par les perpendiculaires p N , p7 M, Les choses étant ainsi disposées , à 6 heures, l'ombre de p p1 se projettera sur N M. Pour trouver l'intervalle 6, 7, qui se trouve entre la ligne de 6 heures et celle

( 47i ) de 7 , on a à résoudre un triangle R 6 7 , rectangle en 6, dont l'angle R est de i5 degrés et dont le côté R 6 est connu. On trouvera donc aisément le côté 6, 7 en disant R: R6 : : tang. 6 R 7 ou tang i5° : 6 , 7. On trouverait l'intervalle 6, 8 , en disant R : R 6 :: tang. 6 iZ 8 ou tang. 3o° : 6,8, et ainsi des autres heures.

Si Pon voulait tracer un cadran sur un autre méridien que celui du lieu où l'on est , il faudrait trouver l'angle que fait ce méridien avec celui du lieu où l'on est. On placerait ensuite le cadre Npp' M, de manière que son plan fît, avec le plan du cadran , un angle de 90 ° , moins l'angle du méridien avec celui du lieu. Ensuite dans les triangles R 6 7 , R 6 8 , etc. , les angles en R seraient toujours de i5, de 3o degrés , l'angle en 6 serait égal au complément de l'angle du méridien avec le plan du cadran.

Passons maintenant à un cadran tracé sur une surface plane quelconque. Supposons que le plan h r , fig. 1 , soit situé d'une manière quelconque. Si Pon suppose un autre plan H R qui lui soit parallèle , passant par le centre de la terre- l'axe m op , projettera son ombre sur le cadran, de la même manière que l'axe terrestre PO/?' projettera la sienne sur le plan R H. Il suffit donc de calculer les angles horaires R O 1 , R O 2 , etc On y parviendra en résolvant les triangles P R 1 g

( ^72 ) P R a , P Ro y etc. , dans lesquels on connaît P R , qui est l'angle que fait avec Paxe de la terre l'intersection du méridien avec le plan sur lequel on veut tracer le cadran ; les angles P R i , P R s, ctc,, sont Tinclinaison du cadran sur le méridien et les angles en P sont toujours de 1 5 ° , de 5o% de 45 ° , etc. , on aura R î au moyen de la formule cot. R i = cot, P ,97/2. R -f cos. R cos. P R >

ou en employant les analogies suivantes , connues sous le nom d'analogies de Neper

c. P-}~/ï . P— R n . Pi— lit*

fcin. — — : sm. : : tans. ^ P R: tans.

Cos. ^^ : sin. f=f : : tans. iP8: tans. ^±^1

La première de ces proportions donnera la demi-différence des deux côtés P i et R i* et, la seconde , leur demi- somme. On en déduira facilement chacun des côtés Pi et R i , et par conséquent les angles horaires R O i , R O 2 , que ces arcs mesurent.

Si le plan R H était horizontal , l'angle R serait droit et P R serait la latitude. Ainsi , la formule que nous venons de donner deviendrait ( cos. R étant o ) \ cot 72 i = cot. P .R, d'où l'on tirerait

sut. lat.

R : sin. lat. : : cot. R i : cot. P ou : : tang. P : tang. R i , proportion dont nous nous sommes servis dans ce cas.

(475) Tracer une méridienne.

Commençons par une surface horizontale. Pour cela , on trace sur cette surface plusieurs circonférences concentriques, fig. 3, et au centre commun C, on élève un style perpendiculaire au plan de la surface ou vertical. On examine, dans la matinée, les points où Nombre du style AC se termine sur les diverses circonférences. On marque ces points que je suppose être G , F, E , D. Dans l'après-midi, on observe les points où l'extrémité de l'ombre du style se porte sur les circonférences. Je suppose que ce soit les points D ' , E y , F\ G\ On partage les arcs DD\EE\ FF' , GG%en deux parties égales. Si l'on ne s'est pas trompé , tous les milieux de ces arcs doivent être en ligne droite , et cette droite doit passer par le point C. En la traçant on a la méridienne. Il arrive rarement que tous ces points soient parfaitement en ligne droite. S'ils en différaient d'une trop grande quantité , il faudrait recommencer ; mais si les différences étaient petites ? on tracerait une droite moyenne.

Comme les ombres des corps ne sont jamais parfaitement terminées , on attache au haut du style CA une petite plaque métallique percée d'une ouverture très-petite. On place alors le style à côté du centre des circonférences, et on

dispose la plaque de manière que la petite ouverture reponde au centre. Au lieu de marquer sur les circonférences les points où se termine l'ombre , on marque les points où se projette le point lumineux que laisse passer l'ouverture de la plaque.

Nous supposons ici que, pendant un jour, le soleil ne change pas sensiblement de déclinaison , ce qui a lieu i5 jours avant , et i5 jours après les deux solstices. Dans toute autre saison > il faudrait avoir égard au changement de déclinaison du soleil , dans l'intervalle de tems qui s'écoule entre la chute du point lumineux sur les deux points de la même circonférence , le matin et le soir.

Quand le soleil s'approche du zénith, l'angle horaire du soir est plus grand que celui du matin ; et, quand le changement de déclinaison l'éloigné du zénith, l'angle du soir est plus petit que celui du matin. Lorsqu'on est obligé de tracer une méridienne dans un tems où le changement de déclinaison ne peut pas se négliger, il faut calculer la différence de ces deux angles par les principes que donne l'astronomie, et y avoir égard dans le tracé de la méridienne.

Méridienne sur une surface quelconque.

Je donne maintenant le moyen de tracer une méridienne sur un mur quelconque , et d'y placer un style parallèle à l'axe du monde.

Soit CD, fig. 4., le mur sur lequel il faut tracer un cadran , on commencera par assujëtir au pied de ce mur une table horizontale sur laquelle on trace une méridienne S N, par le premier moyen donné. On place perpendiculairement au plan de la table et le long de la ligne SN, une règle K Mm dont l'angle en K soit égal à la latitude du lieu; à Nantes, par exemple , de47° i5\ A une petite distance de la table et de l'autre côté , on assujétit un cadre XZ , sur lequel on place une règle où soient attachés deux fils à plomb R Q et OP. L'autre extrémité de la règle est attachée au mur. On a soin que les fils passent par deux trous pratiqués sur la méridienne. 11 est clair que le plan A B SK m M N est celui du méridien. Ainsi, plaçant l'œil derrière le fil RQ, on fait tracer sur le mur une ligne G F que recouvre parfaitement le fil; cette ligne est la méridienne tracée sur le mur. Il faut ensuite placer une règle le long de K L qui rencontre le mur en /. Une ligne G H, menée parallèlement à IK, sera parallèle à l'axe de la terre , et peut par censéquent servir de style au cadran.

Après avoir ainsi placé le style avec la plus grande précision , il faut mettre une bonne montre sur midi, lorsque l'ombre se projettera sur GF; Cette montre servira à marquer la direction de Pombre du même style à chacune des heures avant

et après midi. Ce moyen dispensera de calculer les angles horaires.

Quelquefois on a intérêt de s'assurer si le mur sur lequel on veut tracer un cadran est sud plein. Pour y parvenir, on place perpendiculairement à la surface du mur une verge bien droite. On suspend, à son extrémité la plus éloignée du mur , un fil à plomb ; si l'ombre du style et celle du fil ne font qu'une seule et même ligne droite, au moment où un bon cadran marque midi, on est sûr que la muraille est tournée en plein vers le sud.

On peut aussi , par le même moyen , connaître l'angle que fait cette surface avec le méridien. Car, si l'on observe à quelle heure du matin ou du soir l'ombre du style et l'ombre du fil sont en ligne droite, on aura le vertical perpendiculaire à la surface donnée , d'où l'on déduira aisément l'angle que fait ce vertical avec le méridien.

En effet, soit p HZP Q le méridien , Z le zénith, Pp l'axe du monde , fig. 5, EQ l'équateur, HR l'horizon , L n le parallèle que décrit le soleil , le jour où l'on fait l'observation, et Z T le vertical du soleil , lorsque l'ombre du fil et celle du style sont en ligne droite- dans le triangle ZPSy on connaît l'angle P , parce qu'il a pour mesure la différence entre l'heure de l'observation et midi, réduite en degrés. On connaît P S, complément de

( ^77 ) îa déclinaison du soleil ; et , Z P , complément de la latitude. On pourra aisément trouver l'angle SZP qui est l'angle du vertical perpendiculaire à la surface du mur avec le méridien. Ainsi , le complément de cet angle sera l'angle que fait la surface donnée avec le plan du méridien.

On marque quelquefois sur les cadrans la déclinaison du soleil, ou le moment où il entre dans chaque signe du zodiaque.

Pour y parvenir, il faut se rappeler que les ombres des corps perpendiculaires à l'horizon vont eu augmentant , à mesure que l'élévation du soleil au-dessus de l'horizon diminue. Soit ^Z?,fig. 6, une droite perpendiculaire à l'horizon BD une ligne horizontale. Lorsque le soleil est en S, l'ombre de la droite B A est BC , La même ombre s'étend jusqu'en Z), lorsque le soleil est en S\ On voit aisément que si la droite AB était de longueur donnée, il serait facile de trouver la longueur de l'ombre B C , en connaissant la hauteur du soleil au-dessus de l'horizon. Car, dans le triangle ABC9 rectangle en Z?,on a la proportion^?: tang.C::BC:AB. Or , l'angle C est égal à l'élévation du soleil sur l'horizon. Ainsi , on aura la proportion R : tang. hauteur du sol. :: la longueur de l'ombre est à la hauteur A B de la. droite.

Supposons maintenant que AOFQ, fig. 7, soit *m plan sur lequel on a tracé un cadran, dont la

méridienne est A BEF et dont le sly\e parallèle à l'axe de la terre , est B C. Si l'on suppose une ligne C E perpendiculaire à l'axe , cette ligue sera dans le plan de l'équateur cpie je suppose être OC Q. On conçoit facilement que lorsque le soleil sera en S dans l'équateur, c'est-à-dire, quand il entrera dans les signes du bélier et de la balance , il sera sensiblement pendant un jour dans le plan OC Q. Ainsi , l'ombre du point C, extrémité de l'axe, étant toujours dans l'équateur, parcourra l'intersection de ce cercle avec le plan du cadran. Donc, du matin au soir, l'extrémité de l'ombre de l'axe suivra sensiblement la droite O E Q. (Je dis sensiblement, car le soleil changeant de déclinaison du matin au soir , n'est pas pendant toute la journée dans l'équateur ; mais son changement de déclinaison ne produit qu'un faible changement dans la longueur de l'ombre. )

Lorsque le soleil aura une déclinaison quelconque, soit nord, soit sud , il décrira , dans son mouvement diurne, un cercle que l'on pourra regarder comme la base d'un cône dont le sommet est en C. Par conséquent , l'ombre du point C décrira un cône opposé au sommet au premier. L'intersection de cette surface conique avec le plan AOFQ est la route de l'ombre du point C. La géométrie nous apprend que cette route est une hyperbole. Il est facile de voir que sa convexité sera tournée vers le point B , lorsque le soleil aura une déclinaison

( 479 ) de différente espèce que la latitude du lieu, comme en Europe, dans les mois d'hiver et d'automne. Mais, lorsque le soleil aura une déclinaison de même dénomination que la latitude du lieu où est le cadran , comme dans notre pays , pendant le printems et l'été, les rayons partis des différens points du cercle que décrit le soleil et qui se rencontrent en C, formeront un cône dirigé dans un sens contraire • et , par conséquent , les hyperboles, qui marqueront les projections de l'ombre de ce point, seront tournés en sens opposé, et leur concavité sera dirigée vers B. On peut voir la forme que présentent ces courbes dans le cadran horizontal de la fig. 8.

Pour tracer ces courbes , on calcule , par la proportion que nous avons donnée, la longueur de l'ombre du style pour toutes les heures du jour où le soleil entre dans chaque signe du zodiaque , et ensuite on porte ces longueurs sur les lignes horaires. On a une suite de points de la parabole par lesquels , au moyen d'une règle flexible, on fait passer une courbe.

Je donne ici les longueurs D i/, D G , D F, DE , DI, DK et DL de l'ombre du style sur la méridienne , pour la latitude de Nantes , en supposant que la hauteur C D du style soit de looo parties.

DG^bn

DF= 720 Z)7c=i634

DE = iq2i

DK a 2598