EULER

, cù— A<r')2 -h (ne — ca')^ -h (ab'— ba')^

l <.>a a plus généralement

(cb'— bc') {rb''—bc')-h{ac'—ca') {ac'-ca') -r-(ba'-ab'){har-ab'')

— . an' -+- bb' H- ce') [ au" -+- bb' -^ ec").

5 ua a encore

ycb' -àc)^-^[ae'—ea'Y-^(ba'—ab'Y

-i-(da—ad'Y-^{db'^bd')^--\-[dc'-ed'Y ^ ( ,,t ^ ^î -^ c» -f- r/2 ) ( fl'» -H Z»'î -H c'î -H r/'s)

— (aa-^bb'-^ec'-i-dd')^.

f^ Ij^ formules précédentes sont d'un usage fréquent. En voici de '2.'.r.^ uiile> :

__ . , -r- /i)'C« -^^)*-+-(' ■^by(a-h b]'i-h{ï-^a-^ b — aby.

(Catalvn.)

3^ TRAITE D'ALGÉDAB.

On a aussi

(i -h a -+- b -1- a^ -h au -h ù^)^ = r/«(r/-+- ^-h i)*-f- 6'(<7-f- Ah- i)*-4-(rt-+- ^-4- i)^ -h {a -+- b -h ab)

(Nevberg.)

7. iVo/ff sur les inégalités. — On peut toujours ajouter ou retranche aux deux membres d'une inégalité une mémo quantité, mais on n'a pf toujours le droit de multiplier les deux membres par une même quao tité; en effet, si cette quantité est négative, il est clair que l'on reu verso le sens de l'inégalité.

On peut toujours ajouter des inégalités de môme sens membre membre, mais on ne peut pas les retrancher l'une de l'autre en gêné rai. Ces préceptes sont des affaires de bon sens, et il suffit de le énoncer.

8. Prouver que «* -f- b^^iab, «' -+- Z»« -h c*^ ab -+- bc -h ac.

abc^(b -i- c — a)(c -{- a — b){a-i- b — c).

9. On appelle moyenne arithmétique des n quantités at, A, c, l\

quantité

la quantité yrt-t-Â-t-cn- . . . -t-/ est leur moyenne géométrique, li quantité - ( ~ "^ y "^ • • • "^ 7 ) ^^^ ^^^^ moyenne harmonique.

Cela posé, montrer que la moyenne arithmétique, la moyenne géométrique et la moyenne harmonique de plusieurs quantités sont comprises entre la plus grande et la plus petite d'entre elles.

10. En général, on appelle moyenne de plusieurs quantités une

quantité comprise entre la plus grande et la plus petite d'entre elles.

Ceci posé, prouver que, si b, b\ //. .... sont des quantités positives

r7 -^ rt' -+- a' -+- . . .

a a' a!* est une moyenne entre -r» j,^ py