CHAPITRE II
plier par b son dénominateur; de sorte qu'on a Gnalement (p. .3)
a c ac
Corollaire. — S'il s'agissait de plusieurs facteurs , on aurait
a c e g ac e g ^ iice ^ g aceg
ce qui généralise le théorème.
Théorème IV. — Le quotient de deux fractions s'obtient en multipliant la fraction dividende par la fraction diviseur renversée.
En effet, soit à diviser y par-» le quotient est évidemment
ad
Je' car, si Ton multiplie cette fraction par -? on a
adc
qui se réduit à T> en divisant ses deux termes par cet par ^.
On donne quelquefois aux fractions le nom de rapforts et à l'égalité de fractions le nom de proportion; les numérateurs portent alors le nom d^ antécédents; les dénominateurs sont les conséquents de la proportion; enfin le premier numérateur et le dernier dénominateur portent le nî)m d'extrérnes, les deux autres termes portent Je nom de moyens.
On appelle quatrième proportionnelle à trois quan-
3o TRAITÉ D'ALGàBBR.
tîtës a^ by c ane quantité d qui fasse avec celles-ci 1 proportion
On appelle moj enne proportionnelle entre deux quan tilés a et i (ou encore moyenne géométrique) une quan tité c telle, que Ton ait
en multipliant par b et par c les deux membres de cell égalité, on trouve
ab = c*.
On a généralisé la définition précédente et Ton a appel moyemie géométrique entre ay b, c, d, , . . une quantité z telle, que
:r^ :-— abcd. . .,
n étant le nombre des facteurs a, b, c, . . . , et Ton a ré serve le nom de moyenne arithmétique à la quantité définie par Tégalité
Lorsque Ton a
on dit quelquefois que b est une troisième proportionnelle k a eic,
Tni^.onÈME I. — Dans toute proportion, le produit de: extrêmes est égal au produit des moyens; en d' autres termes, de l'égalité
CBANTIB II. 3l
n.i tire
adzzz bc.
Pour cela, il suffît de multiplier par b et d les deux membres de Tégalîté donnée.
THtoB.k3tE 11, — L'égalité
fit raine les suii^antes :
En effet, la première se déduit de la proposée en divisant ."-nilê par les deux membres de la proposée; la seconde «' .'blient en multipliant les deux membres de la proposée [♦jr h et en les divisant par c; enfin, la dernière s'obtient ^n multipliant les deux termes de la proposée par d et en >< divisant par a.
t-es ré>iiltats peuvent s'énoncer ainsi : Dans toute proi,^->rtii.>n, i^ on peut remplacer les antécédents par les . a<fi/uenfs, et vice versa; 2" on peut alterner les moyens ; n peut alterner les extrêmes.
Théorème III. — Les égalités
rntratnent la suivante :
b "" biT^by'TT'yrT. '
p .,\ p'"^ . . . iiésignant des quantités quelconques.
3tl TRAITÉ d'algèbre.
En effet, les égalités (i) peuvent s'écrire
ap a'p' n*'fj"
bp "~ ly - b'y' '
en désignant par q ia valeur commune de toutes ces fra tions égales, on a
np r :: bp X </, «'/?' — b' p' X 7» '^Z'/' -~ ^'V >" 7- • • ?
d*oiï I*on déduit, en ajoutant membre à membre ces ég lités,
ap -+- a'p' -+- a^p" -^.,,—[bp-h b' p' i - b'' p" -î- ... ; 7,
et, en divisant par bp-\-h'p'-r .les deux membres c celle dernière formule,
, , ,. a ap-^- a'p' -î ti" p" -^ . . .
7, cest-à-dire T — t r,", -nr-7, c. q. f. o.
^ bp->r b' p' -^ b"p"-\- ,,.
Corollaire, — De Tégalité
'b~ b' on déduit en particulier
a a±a' azha' bzhb^
b p-iîzb a b
on en déduit aussi, en alternant d'abord les moyens,
a±b a'±.b' . a±b a'dlb
a a * azizb €t zjzb
Ces formules sont très-utiles et permettent souvent d simplifier considérablement les calculs.
