I. — DÉFINITIOnS

On appelle dérivée d*nne fonction la limite du rapport de l'accroissement de cette fonction à l'accroissement c</rrespondant de sa variable lorsque celui-ci tend vers zéro.

Cette définition, pour être bien comprise, exige que nous entrions dans quelques détails. Lorsqu'une fonction /'(x) est continue, à un accroissement infiniment petit // de sa variable x correspond toujours un accroissement infiniment petit A* de la fonction y(a:), mais il

k n'est pas évident a priori que la limite du rapportai que

nous avons appelée dériv^ée de la fonction, soit finie et déterminée; en d'autres termes, il n'est pas évident que,

k quelle que soit la manière dont h tend vers zéro, j tende

toujours vers la même limite.

Nous verrons dans la suite que les fonctions de variable réelle ont en général une dérivée uni(iue et bien déterminée, et nous ne nous occuperons que de ces fonctions (*).

{*) Toute fonction /(j:) qui admet une dérivée Hnieet bien déterminée pour X = a est évidemment continue, parce que raccroissemcnt de / est nécessaiieuKMit infiniment petit avec celui de jt; mais il n*cst pas prouve que toute l'onction continue ait une dérivce : quelques auteurs ont cité des fonctions continues ne possédant pas de dérivées.

cHAi'irni: vu. i65

Lagrange, rlsns sa Thi-Diif ilus fondions analytiques, propose df rrpr(5senler la dérivée de la fonction j' parj'(*); j'à son lour pouvant être considéré comme fonction de la même variable que j, sa dérivée sera représentée par y'' : elle porte le nom de dérivée seconde àej. La dérivée de y" représentée par y'" : elle porte le nom de dérivée troi- Stênie de y, etc.

Tbéobcmb I, — Soient /{x) une Jonction quelconque. f{x) sa dérivée, li un accroissement quelconque donné à x; on aura

I désignant une quantité qui s'atmule avec h.

En effet, d'après la définition même que nous avons donnée de la dérivée, on a

■■fi'

c'est-à-dire, en désigi «vcc k,

it par e une quantité qui i

['où l'on lire la relation (il.

L'expression de la différence /(x + A) — /(x) est sus-

protrinmei. t» iiouiion infcnUe p«r Leibuiti t-y- pour rsprésenier U ■)<ri*é« de f' rclallie i x] cit (Dcore eelJo dotil nn fait uaagc aujourd'hui uni- U f BrMtl«tn»M : elle > de erinils ri t(««t«n loiil le» inienleun ^U C^leml diffémiiti, le ucatid Calad det fiua

celle de LagraiisB (LeIhniU

I dei dériiëea; le p.

l66 TRAITé D^ALGÂBRB.

ceptible de prendre une autre forme, qui nous sera très utile dans la suite, et que nous allons faire connaître.

Théorème IL — Soit f{x) une fonction qui reste continue {*) quand x varie de a à b et qui ait dans cet intervalle une dérivée f {x) unique, déterminée et finie pouf chaque valeur de x ; si Von a

/(a) = o, /(fe) = o,

il existera entre a et b une valeur c telle, que Von aura

En effet, on a vu (p. 36) que f{x) passait par un maximum ou par un minimum pour une valeur de x comprise entre a et 6; appelons donc c la valeur de x qui rend /(a:) maximum ou minimum. D'après ce que l'or a vu (p. 35) pour des valeurs suffisamment petites de A,

f(c'^h)-f[c] et f[c^h]^f[c) sont de même signe

sont alors de signes contraires. Mais, d'après la définition que nous avons donnée de la dérivée , chacune de ces expressions a pour limite y'(c), dont la valeur, par hypothèse, est unique et bien déterminée; f'{c) est donc la limite commune de deux quantités. Tune positive, l'autre négative, et par suite ne peut être que zéro. c. q. f. d.

{*) II est inutile, à la rigueur, de dire quo/(j:) est continu, car, si la dérivée existe, la fonction est continue.