CHAPITRE TH

Celte démonstration, due à O. Bonnet, est extrêmement remarquable, en ce sens que Ton n'a pas besoin de supposer la dérivée /^(j;) continue.

Corollaire I. — Si la fonction f[x) conserve une dérivée bien déterminée entre les valeurs x et x -h h de sa variable, on a

$ désignant un nombre compris entre zéro et i . En effet, posons j: -+- A = X, X — j: = A et

on en conclura

Si Ton considère alors la fonction de z,

elle s'annulera pour z = x. Mais elle s'annule aussi pour z = X ; donc sa dérivée s'annule pour une valeur l^de z comprise entre x et X. Cette dérivée est la limite de

pour « = o; cette quantité peut être remplacée par

dont la limite est, par définition, — J'[z)'hA. Remplaçant z par ^, on a donc — y^(Ç)-+- A = 0 ou A=y^(f) ; par suite, la formule (i) devient

l68 TBAITÉ D* ALGÈBRE.

Remplaçons X par x + A et la valeur Ç comprise entre X et x-{-h par x-i-dh, 6 désignant un nombre positif moindre que i ; nous aurons

f[x-^h)^f[x) = lif'[x-\-Oh),

n. — DÉBIYËE D'UKE SOIOIE, D'UH PRODUIT, D1JH aïïOTIEIT.

Théoueme I. — La dérwée d'une somme composée d'un nombre limité de parties est égale à la somme des dérivées de ses parties (*).

En eOet, considérons la quantité

(i) j= tt -f-w — «'di. . . ,

u, (^y (Vy • . . désignant des fonctions quelconques de x en nombre limité; représentons par le symbole Ax un accroissement arbitraire donné à x (le signe A ne représentant plus ici une quantité, mais une opération). Soient Ay, Au, Auy Awy ... les accroissements correspondants dej^, u, ç», çv, . . . ; en remplaçant dans Téquation {i) x par j: 4- Ax,ii deviendra alors u-hAuy \f deviendra i^-4-Ar, etc., et Ton aura

(2) y -{- ^jr = u -^ Lu -\- V -\- ^v — w — Am'±....

Si Ton retranche les équations (i) et (2) membre à membre,

on a

A^ = am -4- Af» — Aw* dz . . . ,

(*) Nous suppus'ïrons toujours dans la suite que les fonctions sur lesquelles nous raisonnons ont une dérivée. L'existence de la dérivée cherchée sera seule à démontrer.

c'esl-à-dire, en divisant

Or, si l'on fail Icndrc dérivée de j, — icndra i

ciupiTne vit int par A.r,

[idra

, etc., en sorte qu en prenant les limiles des deux membres de l'équation précédenlo, et en observant que dans le second membre de cette équation le nombre dei fiaities est limita, on a

ce qui démontre le théorème énoncé.

Rkuaik^ve. — Nous avons insîslé sur ce point que le nombre des parties ii, v, w,. . . devait être limité; en efTel, [uand nous avons fait tendre Ai vers zéro, nous avons

tdmis que

la limite de la

somme \ — + ■

■ était

Içale à la somme des limites de ses parties, ce qui cesse (Titre vrai lorsque l'on suppose le nombre des parties illi- Blité ( * ). Ainsi le théorème que nous venons de démontrer n'est pas applicable aux séries, ou du moins, pour qu'il

pdevîennc applicable aux séries, il faut nécessairement une

fnouvclle démonstration.

(*) On démontre pur Be Calcul ipircnl U fonnul»

comme il le Becond mambre Bvuii itti nombiv lîmilA de tcrmiM, an Uvuva, k l'aida de procédé* qui tsront cipllquea p)ui loin, U rormuie

- = eo»j — co«ïJ--i- <o>3x — . ..± eninx, ...

(arda, ht l» leoiuid sombre ett diiergent.

170 TBAITé d'algèbre.

Théorème IL — La dérwée d'un produit de plusieurs jonctions en nombre limité est égale à la somme des prch duits obtenus en multipliant la dériifée de chacune de ces fonctions par toutes les autres.

En efict, soient li, v, çv> . . . différentes fonctions de x en nombre limité; posons

(i) jrzzzuufv. . , .

Changeons dans cette formule x en x-h àx ; y^ u, i/, çv, . . . deviendront ^ -+- A^, u -»- Au, . . . , Aj', Au, . . . , représentant, comme plus haut, les accroissements de ^, 1/ y • . . correspondant à l'accroissement Ax de x. Nous aurons

Or le produit des facteurs qui entrent dans le second membre de cette équation est égal à la somme des produits obtenus en prenant pour facteurs un terme dans chacun des binômes u -+- Au, i^ -4- Aj^, ... ; on aura donc

(a) j^ 4- A j = ttiw. . .-I- Att.vri'. . .4- Av.utv. ..-}-«,

(ù désignant une somme de termes contenant en facteur au moins deux des quantités Au, A^, Afv, ....

Or, des équations (i) et (2) on tire par soustraction

A^ = Aa.PfT. . .4- ^tf,uw, . .4- A(f .MP. . .4- w,

ou bien, en divisant par Ax,

,^. Ar Aa Al' M

[6] — = — f(i'...4 Mff...4 •

^ ' Ax ^x Aj: Aj:

Or, si Ton fait tendre Ax vers zéro, —y — 9 ••• auront

Ax Ax

CH.\PITBE VII, 171

pour limilesj', 1/, .... Quant à -- 1 îl se compose de termes de la forme — a, dans lesquels « est un produit

contient au moins un des facteurs Au, Ap, ... ; si dous ntpposons donc qu'aucune des dérivées 1/, t^, ... ne soit infinie , — n'augmentera pas iadéflniment ; d'un autre

talé, a aura pour limite zéro, cl par suite u aussi ; donc, ■i l'on suppose les facteurs u, 1; w, . . . en Dombre limité, la formule ( 3 j don::era, pour A,r = o,

Corollaire 1. — Si l'on divise les équations (1) et (4) membre à membre, on trouve

relation remarquable et dont on fait un fréquent usage.

— est ce que l'on appelle la dérivée logarithmique de j ;

on peut donc dire que :

La dérivée logarithmique d'un produit est égale à la wmme des dérivées logarithmiques de ses facteurs.

Cokollaihe II. — a désignant une constante, la dérivée i sera W, car la dérivée de a est nulle. En effet,

, quelque petit que soil

; donc la limite de — sera zéro.

Rxiuhqvb. — On a quelquefois besoin de prendre n fois a dérivée d'un produit uv. On peut le faire à l'aide

17a TRAITÉ d'algèbre.

de la formule suivante, due à Leibnitz,

dans laquelle Cj^, Cj[, • • • représentent les coefficients de la

formule du binôme -> — ^j . . . , et dans laquelle uf^

désigne en général la dérivée i'*°* de u.

Pour démontrer cette formule, il suffit d'observer qae Ton a

et par suite, en prenant encore la dérivée,

La formule ( i) a donc lieu pour n = i , « = 2, .... Admettons qu'elle ait lieu pour la /i'*"* dérivée, démontrons qu'elle a encore lieu pour la {fi -+- i )'*"•, et, comme elle a lieu pour n = 2, elle aura lieu pour /i = 3, /i = 4^ • • • î elle sera alors générale. Si nous prenons la dérivée des deux membres de (i), nous trouvons

Or, par un théorème connu, on a (p. i3)

Crt 4- I = C^^j, C;, -h C,j 1= ^/f*-ty • • • î

donc

Celte formule n'est autre que (i), où Ton a remplacé n par (//-hi); donc enfin la formule (i) a lieu quel que soit n. c. Q. F. D.

Théorème III. — La rlériuée d'un quotient est égale au résultat obtenu en divisant par le carré du diviseur la dérivée du dividende multipliée par le diviseur, dimi^

CUAPITRK VU. 173

nuée de la dérlsfée du div^iseur multipliée par le dii^i^ deude.

En eflTel, soît

le quotient des deux fonctions u et (^ de x. Changeons x en X H- Aj:; w, if,j deviendront u H- Aw, 9 4- Ai», j -+- Aj' et Ton aura - . // -h Aa

Des équations (i) et (2) on tire

// -h lu u A/ = — ^ ,