FONCTIONS COMPOSÉES
Soient V une fonction de x, w une fonction de 9^ y une fonction à^ w\y sera ce que Ton appelle une Jonction de fonction de x.
Théorème I. — La dérivée d' une fonction de Jonction est égale au produit des dérivées des Jonctions dont elle est Jormée,
En eOet, soit y une fonction de w, w une fonction de v^
V «ne fonction de x. Changeons x en x -+- àx\y dcTiendra
Y -+- A)^, w deviendra w -+- Afv, v» deviendra i^ -f- A«^, et l'on aura identiquement
. Ar àr An» Ai»
^ ' Ax A«' A<' Ax
Si Ton fait tendre Ax vers zéro, — aura pour limite {^.
— est le rapport de l'accroissement de iv à l'accroissement correspondant de i^; sa limite est donc la dérivée de w prise en considérant w uniquement comme fonction de V et non comme fonction de x : nous désignerons cette dérivée par çv'^ pour ne pas la confondre avec çv', qui es* la dérivée de w considérée comme fonction de x. De même
-^ aura pour limite r'^,» dérivée de y prise en considérant j)^ uniquement comme fonction de w. La formule (i) peut alors s'écrire
ce qui démontre le théorème énoncé.
CnAPITRE VII, IjS
Rehàrqve I. — Nous avons tacitement supposé le nombre des fonctions iotermédiaires w et y limité; en effet, en passant aux limites dans la Cormule (i), nous nous sommes appuyés sur ce principe que la limite d'un produit était égale au produit des limites de ses Taeteurs : ce principe n'est pas applicable aux produits composés d'un nombre illimité de facteurs.
REM*nQrE II. — Il ne faut pas confondre les expressions y^ et y-, elles sont, comme on voit, essentiellement difFéreirtes el bées entre elles par la relation [ a ).
Soient u, v, w.... des fonctions de x, et f{u,v, w,...) une fonction de u, w, tv, . . . ; y sera par rapport à x ce que l'on appeUe uae Jonction composée.
T&tonÈME II. — La dérivée d'une Jonction composée est égale à la somme de ses dérivées prises par rapport à cliai/ue fonction dont elle est composée, respectivement multipliées par les dérivées de ces Jonctions etlesméntes.
En eflel, considérons la îoncûon J[u, v, w), u, v, w dédes fonctions de x; on aura
Bîp"
A/A-» + A», .■ + i,■..,■^^.,■] -flu,
AUf Av, Atc, A/* désignant, comme plus haut, les accroissements de II, V, w, y correspondant à l'accroissement Ax de x. Or on peut écrire comme il suit l'équation précédente :
; if^/ju -H A«. - 4- A-. »- -I- A.v) -/(i + Aa. P -t- M; ■■■)
. , 1 /(W+AH.I'+A^'.H'}— /(«-t-AH,.-,H')
17O TRAITB d'algèbre.
Or la première partie du second membre de cette équation
est l'accroissement que prendy(u-h Aa, v -f- £iv,w) quand on change wenw-h- àw. Or, en appliquant ici la formule
démontrée (p. 164), nous pouvons écrire ainsi la quantité (2),
(3) /w("-^ Aw,P-h Ac, »i' -hOAcr) ,
Ax
OÙ 6 désigne un nombre compris entre zéro et i. Pour bien comprendre cette formule, il faut voir dans la notation /^ une dérivée prise ^ar rapport à w, comme si m-I-Aii et v-^ ^v étaient des constantes ; et en effet, dans l'application de la formule (a), on ne suppose pas que la fonctiony(j:) ne contient pas d'autres variables que l'on pourra ultérieurement regarder comme fonctions de x, et la dérivée qui y entre n'est relative qu'à la quantité recevant l'accroissement A. Ainsi/^, pour nous résumer, représente une dérivée prise comme si u -h Aa, v -^ ^v étaient indépendants de fv; la variable est w, et on la remplace par w-h 0 Açv. En mettant le second et le troisième terme de (1) sous une forme analo£;ue à (3), on aura
^=zf^[u^- Attji'H- At', !*' + (? Aa-; — AJ7 Ax
/v / . ^ X Al* ^ , ^ , A«
•4-/; [u -4- A«, i'-+-ôii', iv] -- -4-/; 1 ^/ -h 0,A«, v,w)—-y
0i et B2 désignant comme B des nombres compris entre zéro et I. Si alors on suppose que x décroisse indéfiniment,
Am, Af', Açv tendant vers zéro et — > — > — vers les limites
Ax Ax Aj:
CBAPirnE VII. 177
, 9^, */,xi.'^ vient, en supposant les fonctions/'„,/^,yil con- F tÎDUCS par rapport à m, 1', w,
/,=r.(«.'..«)»'+/.(«.',")^+/ii«.'."'i«'-
1 Telle est la formule qui fait conaaîLre la dérivée d'une fonc- I lion composée; y^ , rappelons-le, est la dérivée dey(u,i',Hj) prise en supposant c et iv coDslants et u seul variable [voir l une application au § VIII).
