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- THÉOBËHE DES FODCTIOIÏS HOHOGÈHES.

La fonction y(j-,j, z) de plusieurs variables est dite homogène et de degré m quand elle satisfait, quel que soit ^ Jt, à la relation

it x^+j'' est homogène et du second degré, etc. Si loous prenons les dérivées des deux membres de (i) par lirapport à A, nous aurons, en appliquant le théorème dé- ^nontré au paragraphe précédent,

r qui devient, pour A" ^ 1,

I En prenant encore la dérivCe de (aj par rapport à A et en ' faisant A" ;= 1 , on trouve ( voir § Xll)

Nous laissons au lecteur le soin de développer celte déaonstralion très-facile et de la généraliser.

C'est dans la formule (3) que consiste le théorème des fonctions homogènes, dont l'utilité se manifestera plus f loin en Algèbre et dans toute la Géométrie analytique. L — AlgUre, II. la

T. — d£rITÉES des rOHCTIONS mPUCITES.

Lorsqu'une foDclion est définie comme solulion d'une ou de plusieurs équations dans lesquelles entre la variable, on dit qu'elle est implicite; elle est explicite dans le cas contraire.

AÎDsi^, défini par l'équation

est implicite; si l'on tire de là

}■ devient explicite.

Nous allons trouver la dérivée d'une fonction implicite, mais nous ferons l'hypothèse que cette dérivée existe, en nous réservant de prouver plus loin>' l'existence de cette dérivée pour un grand nombre de cas.

1° Considérons d'abord la fonction y déiinie par la seule équation

Cette équation étant une véritable identité quand j- y est censé remplacé par sa valeur en x, ce que nous supposerons, J(x,j) est identiquement nul ; sa dérivée est donc nulle, et, en supposant çuej ' existe, la règle des fonctions composées, démontrée § 111, donnera

Pour bien comprendre commenlou aobtcnurcqualioQ(i),