I -f- X — Sx
est un polynôme entier en x.
Un polynôme peut être entier par rapport à plusieurs lettres a, b, c, Xy . . * . Ces lettres sont alors les ^variables du polynôme.
Un polynôme entier s'appelle aussi une Jonction entière de ses variables.
On dit qu'un polynôme est ordonné par rapport aux puissances croissantes ou décroissantes d'une même lettre lorsque les exposants de cette lettre y vont en croissant ou en décroissant depuis le premier terme jusqu'au dernier.
On appelle degré d'un terme par rapport à des lettres déterminées la somme des exposants dont ces lettres sont affectées dans ce terme; ainsi ia^b est du troisième degré par rapport k a et b y du deuxième degré par rapport à a seul, et du premier par rapport à b seul.
On appelle degré d'un polynôme le degré de celui de ses termes dans leauel la somme des exposants des lettres
par rapport aiixtiuelles on compte le degré est la plus graDde.
Un pol^oâme est dit homogène par rapport à plusieurs lettres lorsque tous ses termes sont de même degré.
Il est clair que la somme et la dîfl'érence de deux poljoAmes homogènes de munie degré sont des polynômes homogènes.
Le produit de deux polynômes homogènes est encore un polynôme homogène dont le degré est égal à la somme des degrés des facteurs.
Cette remarque est d'une grande utilité dans le calcul et permet de vérifier à chaque instant les fautes que l'on peut faire eo omellant des lettres ou des exposants : on a très-souvent l'occasion de calculer sur des polynômes homogènes; il faut proGler de cette circonslance toutes les fois qu'on le peut et vérifier que les formules que l'on obtient par multiplication de polynômes homogènes restent homogènes.
Un polynôme du preniiei- degré s'appelle aussi funclion linéaire.
IL — HULTIPUCITIOV DES FOLTHOKES EHTIEBS.
Toutes les fois que l'on peut ordonner un polynôme, il [ fout le faire; la symétrie qui en résulte guide beaucoup dans les calculs, et surtout lorsqu'il s'agit de faire le produit de deux polynômes.
Considérons, par exemple, les deux polynômes ordonnés
P ^ i-t- aj: + 3^» -(- 4j^ -I- 5-c'.
Q := 2 - 3j: -1- 4*' — Sx»,
et cherchons leur produit; nous suivrons la règle générale, mais nous écrirons sur une première ligne homoD-
laie le produit du polynôme P par le premier terme i de Q; nous obtiendrons ainsi un premier produit partie ordonné ; multiplions ensuite le pnlyiiôme P par le seconc terme — 5x de Q, nous obtiendrons un second produil partiel ordonné; nous l'écrirons au-dessous du premier, dt telle sorte que les termes de même degré se correspondeni dans une même colonne verticale, et ainsi de suiLe : la réduction des termes semblables porte alors sur les termes inscrits dans une même colonne verticale. On dispose le calcul ainsi qu'il suit :
a-1-4 x + 6 x'+S a:> + io
