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en évitant de répéter la partie commune au;^ divers terme» semblables.

La disposilioD de ca.lcul que nous avons adoptée est surtout avantageuse lorsque les coefficients de la lettre ordonnatrice sont eux-mêmes des polynômes.

Remarque. — Lorsque le multiplicande, le multiplicateur et le produit sont ordonnés de la même manière par rapport à la même lettre, le premier et le dernier terme du produit sont égaux respectivement aux produits des premiers et des derniers termes des polynômes facteurs.

En effet, supposons les polynômes ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de x ; les premiers termes des facteurs sont les termes de degré le plus élevé, leur produit est un terme du produit total, et il est Lien

GBiFfTKE III. 39

érîdenl qu'il est de degn: plus élevé que tout autre terme du produit total: par conséquent, il ne se réduira a\ec aucun d'eux et sera le premier terme du produit total. On Terrait de même que le produit des derniers termes des facteurs est le dernier terme du produit total.

m. — iftviiRii m

Deux pî»lynùraes entiers en or sont dits identiques quand ils sont égaux, quelle que soit la valeur attribuée à x. Si deux polvnùmes contiennent plusieurs variables, ils peu- Tent être identiques par rapport à certaines \ariable> el ne pas léln? relativement à d'autres: ainsi deux pciKnômes en X et a peuvent être ésaux pour a ^^ i et «i ^^rz 2. quel qu.soit x : ils sont alors dits ideniitfues par rapp^u t à x <fuan<! a=~ i ei quand a =: 2.

D'après la njéthode que nuus a\ons exposée au p^iragraphe précédent pour faire le produit de deux polvTiùmes, on voit que ce produit est identiquement é^l au multiplicande multiplié par le multiplicateur, c'est-à-dire quel que soit X.

Doréna\ant nous dirons qu'un polvnome entier en x est la somme. la différence, le prcnjuil, le quotient de deux autres quand il sera eiloctiveinent la somme, la différence. le prc*duit ou le «quotient de ces deux polvnômes identiquement, c e>l-à-dire quelle que soil la valeur attribuée a X.

Ainsi on a. quel que soit x.

X— I X — I jn — l;

alors x' — I est le produit de x — i par x — i . x — i est le quotient de x* — i par x — i . etc.

Malsx* — 2X — 1 n'e^t pas le prtnJuit dex — i par j — !•

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bien que pour :c = o, par exempli

parce que cette égalité n'a pas lieu cpiel que soit x : elle n'ii pa» lien, en effet, pour x= i.

Un poljnAmc A entier en X est divisible par un autre £ qitand ils ont un quotient entier en x. En d'autres termes :

Un pol^nfïme entier A en x est divisible par un autre B quand il existe un polynôme Q tel, que l'on ait i/ientii/uement, c'est-à-dire quel que soit x,

'I'méoiiïmk I. — x"* - n"* est divisible pai ICii rlTel, il est facile de constater que l'o

I identiqui

l*our le vérifier, il suffit d'effectuer la multiplication indiquée dans le second membre de celle formule; les produits de o-""^' ^-flx™"' -+-■■■ -l-rt'""' par ,r €l par — a sont

I TH*o»i

en les ajoutant et en observant que tous les termes se dé truisent deux à deux, k l'exception des termes eslrêmes, ou trouve bien x^—n".

Cette proposition, à la forme de son énoncé près, était connue d'Archim^de, c'est-à-dire bien longtemps avant l'invention de l'Algèbre; elle o des applications nomlireuses, et In formule (i) est à retenir.

TRkOKfcm II. — Si HA polynôme P entier en i en divise