OU

n. — DÉBIVÉES DES rOlfCTIOlfS DE YABIABLE IHA6IHAIBE.

Si l'on appelle fonction de x -hj ^ — i toute expression de la forme X -f- Y y — i , où X et Y sont fonctions de x et^,

l88 TEAITÉ D*ALGàDRE.

une fonction de x et y n*aura pas en général de dériyéei et l*on ne considère en Analyse que les fonctions admettant une dérivée. Pour faire comprendre cette espèce de

paradoxe, observons que la dérivée de X •+• Y ^ — i est la limite de

Aj: -f- ^x \l — I

quand x e\.y tendent vers zéro. Or £iy et ùx peuvent tendre vers zéro en suivant des lois très diverses. De là une infinité délimites différentes pour le rapport considéré. Supposons, pour fixer les idées, x eij fonctions d*une variable f, qui pourra être x si Ton veut; le rapport (i) pourra s'écrire

/AX AY , \ /A.r Ar \

ou, en passant aux limites,

, , x; -f- y; y/- 1 x^y, ^ xv>-; + y/- . (YV.r- -h yv/,)

La dérivée que nous trouvons ainsi dépend, comme l'on

ce voit, du rapport -r> et, pour qu'elle soit indépendante de

ce rapport, en d'autres termes, pour que la dérivée

de X -H Y yj — I ne dépende pas du mode de variation de x et de^, il faut que les coefficients de x\ ely[ dans les deux termes de la fraction(2)soicnt proportionnels, ce qui donne

ou bien, en égalant les parties réelles et les coefficients de v/ — 1>

Xjp= Ty, X^.= Y^.

CIIJtflTB^ VU. 189

Ces relations ne seront pas, en g;énéral, satisfaites quand on prendra X et Y au hasard.

Quoi qu'il pq soit, parmi les règles que nous avons données pour prendre la dérivée d'une fonction, il en est qui ne supposent pas la variable réelle; telles sont les régies relatives aux sommes, aux produits, aux quotients, aux fonctions de fonctions et aux fonctions entières. La rèftle des fonctions compostes peut se généraliser ainsi :

Soity(u, i') une fonction composée de j- -i-y \f- — 1 . Si u et i- ont une dérivée unique et si de plus/ ^ ^^/l sont bien déterminés, on supposera a: et^ fonctions de (, et l'on aura pour dérivée de y l'expression — — — ' — ■ ai'i la variable t est réelle. On a ainsi

Mais '■ est la dérivée u' de u relative à x-+-t- v' — ' ;

^-4onc la dérivée cherchée de^'est bien^'„u'-t-y|,i' comme

^kuand la variable est réelle.

^P La dérivée de e^^y^ s'obtient en observant que cette fonction est égale à ^(cosj'4- ^ — isinj-). Supposons^ et X fonctions de / et prenons la dérivée ; nous aurons

»«'jr'(co*j- -t- ^— r sin,r )+«'( — sin j- + V~ " cos/)/ = ^^(00»^-+ V— isiiij-}(j:'+yv'~')

En divisant par a.'+y \J — 1 , on trouve la dérivée unique p«+jV-t; la dérivée de log(jr-+-i \—>) s'en déduit facilement, et l'on reconnaît qu'elle est-

1()0 TRAITÉ D*ALGàBRB.

n reste à montrer que la dérivée de sînx est toajoon coso:. On a

sinx = ;

on en conclut

(sinxr = =:cosx«

On verrait de même que la dérivée de coso: est — sinx (*).

Z. — PBOPBIÊTËS DES FOHGTIOHS DÉRIVÉES.

Théouème I. — Toute fonction f[x) réelle et continue entre les limites x = a et x = b de sa variable passe foi^ cément au moins une fois par la valeur u comprise entre les valeurs f {a) etf[b) qu elle prend pour les valeurs a et b de sa variable, et, en particulier j sif[a) etf(b) sont de signes contraires, l'équation

admet au moins une racine comprise entre aet b.

Ce théorème a déjà été démontré à la page 3o de ce volume.

Théorème II. — i** Une fonction réelle et continue dont la dérivée est positivée croît avec sa variable ; 2° unefonc-

(*) On ne fait pas généralement dans les Cours les remarques que nous venons de faire, et cependant on ne se gène en aucune façon, en Gcométrio analytique, pour prendre des dérivées quand la variable est imaginaire; on a bien soin, il est vrai, de ne pas attirer l'attention de Téléve sur ce que la variable peut ne pas être réelle, et voilà comment l'étude des Mathématiques, qui devrait servir à rendre l'esprit juste, peut contribuer à fausser le jugement.

rn*piTniî VTi. igi

non réelle et continue dont la dérivêeest négative décroît W lorsque sa iiariable croît.

En efTel, considérons la fonction réelle f{x)\ suppowton&f{:r) positif entre les limites a clb delà variable x;

r, général (p. i65)

■ < désignant une quantité qui tend vers zéro avec h. Or, t supposons :r et x-i-A compris entre les limites a cl ^ ; e, ■Ajant pour limite zéro, pourra être pris moindre en valeur E.absolue quc/'(x). Si donc nous supposons l'accroissel h positif, le second membre de la formule précé- (idente sera de raênie signe que /''(x) ; donc enfin

Ijerade miîme signe quey(j7), ce qui revient à dire o(aef{x) ecx quand sa dérivée est positive et décroit quand j: pCroU dans le cas contraire. c. q. f. d.

Tbéorème III. — Une fonction J {x) réelle et continue asse ordinairement par un maximum ou un minimum lorsque ,ia dérivée s'annule.

En effet, supposons la fonction /"( a:) continue ainsi que ivées pour x^n; si l'on & f'[a)=ia, trois cas teuvent se présenter :

" /'{x), en s'annulant pour x ^= a, passe du négatif

t positif; cette fonction est donc croissante; donc sa

'^évivée J'" (x) doit être positive ou nulle pour x = a, car,

yû elle était négative, /*(x} décroîtrait en faisant crot ire x

Ulhéorèrac II). Maisy(x) ayant changé désigne pour x^ a,

1 passant du négatif au posilif,/(x) a dû être décrois-

inte pour les valeurs de x moindres que a et croissante

pour les valeiiis dex plus grandes q«ea;elle a donc dA passer par un minimum pour x = <a.

a" Siy(x), en s'annulant, passe du posilif au négatif, cette fonction est décroissante, et, par suite, sa dérivéey(x) est négative ou nulle pour x^ a; en second lieu,y*{xj passant du positif au né^-alir,y(x} passe, pour x^n, d'une période croissante à une période décroissante, c'est-^-dire quey(a)eslunn,o,imu,„de/(^).

3° Sif{x) ne change pas de signe en s'annulant, celte fonction croît pour décroîlre ensuite ou décroît pour croître ensuite lorsque x passe par la valeur a ; donc alors /"(x) doit changer de signe pour a =a; donc eotin, dans ce cas,y''(fl) est nul.

Ainsi, en résumé, si l'on a f[a) = o et

r(«)>o,/(fl) est un minimum de /(^), /'(aXo./(a) est un maximum de/(j:).

Lorsque /'(a) et /'(a) sont nuls à ta fois, trois cas peuvent se présenter comme tout à l'heure :

1° Siy''(x) passe du positif au négatif, cette fonction décroît, et alors /"'(rt) est nul ou négatif; mais dans ce cas f'{a) est un maximum de/'(x), et/(a) n'est ni un maximum ni un minimum; a" si /"(x) passe du négatif au positif, /•'(o) esl nul ou po.ilif,/ (») est un minimum de/{i)

serve le

maximum ni minimum; 3° si/"(x) conjne en s'annulant, /'(a) n'est ni un maxinimum, et il peut arriver quej(ti) soit

raum m ui maximum ou min

Nous ne pousserons pas plus loin cette discussion; on voit que

fournira des valeurs de x qui rendent y{x)

et) en développant cliaque parenthèse par la foi )>jndme, puis en ordonnanl par rapport à h,

Cim-ITRE VII. 'D'

nimum toutes les fois que/"(.r) ne s'annulera pas en Sme temps queyf^); je dis dns valeurs, parce cju'il ne laflît pas de résoudre l'équation (i) pour en diiduîre tous 1 maxiina ou minima àiif[x).

n. — tb£ob£me de tatldb.

Considérons un polynôme enlier l'on change x enx-^h, on a

nie du

ins celte furmule, le terme indépendant de h est V[x),

coefficient de - est V{x), le coefiicient de — est la I ^ ' i,a

irivée de F'(jî), que l'on désigne par F"(j,), el ainsi Je

ïte. Oq peut donc écrire la formule

lifait connaître raccroissemeat F Cx + h) — F(x)d'unp

I, — ÂlgUre, II. i3

fonction entière, correspondaat à l'accroissement A de M variable.

Nous allons essayer de généraliser cette formule; k cet effet, désignons par Ph' le terme qu'il faudrait ajouter au second membre pour qu'elle devînt exacte lorsque la fonctionF(z) cesse d'être entière. Le terme additionnel pourra toujours élre mis sous la forme que nous lui avons assignée P/i', ( désignant un entier, si nous supposons tous les termes (!e la formule précédente Gnis. Nous poserons donc

1 r(» + i|-r(x)-iF'(^)--ilF-(xi-...

Celte formule est une identité : en d'autres termes, P a la valeur que l'on en déduirait en résolvant cette équation comme si P était une inconnue entrant au premier degré. Nous supposerons que la fonction r( z ) reste finie et continue, ainsi que ses n premières dérivées, quand z varie de j:à,r-t-/j; quanta la dérivée F""'"' {;), nous supposerons simplement qu'elle existe et qu'elle ait entre les limites en question une valeur unique. Alors la fonction suivante, où l'on a faitX = .r-|-/i,

— ^—~i)lvi,A^ t^~')" vnl,-: .-y -»D

sera finie et continue entre les limites z =^ x et

sa dérivée n'aura qu'une valeur bien déterminée. Or <f{X)^ o, et, si l'on suppose X = ;r-t-A, ç(x) sera nul en vertu de l'équation (i).

Si l'on y fai irécédeiiLe,

CHIPITRE vu. 11)5

Donc, en vertu du théorèmell, déinonlré à Upa^e itiS, la dérivée de !^(3)doit s'annuler pour une valeur de r comprise enlre u- el x-^h, valeur que l'on peul représenter par X ■+- SA, & étant compris entre zéro et i . Or la dérivée de ^{z) est donnée, réductions faites, par la lormule

= x-\-Qh, on a, d'après la remarque

- F"' ( j: + efl ) + /(X — j: — !!/(}'-' P,

l*où l'on tire la valeur de P suivante, dans laquelle on a paplacé X par j: + A,

l'on porte celte valeur de P dans la formule (i), ii vient, B faisant passer dans le second membre tous les termes égatifs,

hr^ [i — ay- <

Le dernier terme porte le nom de reste; on lui attribue généralement deux formes : l'une correspond à i ==: n -f-i; ; conduit à la formule suivante, duc à Lagrange et tdiquéc par d'Alembert :

19^ TnAITé D*ALGâBRB.

Eo faisant i = i , on a la formule suivante, doe à Cauchy :

F(xH- A)=F(x)-t--F'(x)-l- — F'ixj-h...

La formule (2) est celle dont on fait le plus fréquemment usage ; on peut lui donner une autre forme, très-utile dans les applications, quand F'*+*(x) est continue. On a, en effet,

e désignant une quantité qui s'annule avec A, et, par suite, la formule (2) donnera

F (x -4- // ) = F(x) -h àF'(x) -f. ^ F^» H- . . .

F«+»[x)-ht/i''-^\

et, pour que cette formule ait lieu, il suffit que F{x) soit continu, ainsi que ses /i + 1 premières dérivées dans le voisinage de x.

SI. — auEiauES déyeloppehehts en sëbie.

La formule de ïaylor permet quelquefois de développer une fonction en série. Si dans la formule (2) du paragraphe précédent le terme complémentaire

que nous appellerons le reste, tend vers o quand n croît indéfiniment, on aura

F(a;H-/») = F(a;)-f-^P(a?)-h-^FV)-r-...,