CHAPITRE VII

et le second membre de celte formule sera une série convergente.

Ordinairement on suppose j: = o et la formule que l'on applique au développement en série est

on lui donne alors le nom àa formule de Maclaurin, I" Si l'on suppose F(X)= sinA, on trouve

Sin A = -r- r-r . . . Zt ■: r-r ©,

6 désignant un terme de la forme sinOA ou cosOA ; le terme complémentaire tend donc vers o pour n = oc et l'on a

s,nA=--^-j--^-....

2** On trouve de même

ros A = i r-^TT — •••»

4" Pour obtenir le développement de (i4-A)*, 11 faut partir de la formule de Cauchy

F(^j:-t- A) = F(x)-+- - F'(ar) -+-...-+- —^ F^Car)

y faire F(:r -|- A) = (i -^ A)", jc = 1 , et Ton trouve

(l-h A)« = iH- // H 1 ^»

R = — j- a(a — 1} ...(a — /i)(i — 0)«(i -h ÔA)*-»-^";

on peut écrire

,„-,.M,î-.)»-(?-.)Hr^ir'-

ndre que i ej

Si l'on suppose A ii 'facteurs aA, (a — i)/i

pour n :^ X tenu l'unité, (rM-Q/fy-r et l'on a

[leur absolue, les t un produit qui — — ^ ne peut être supérieur à li : doue Rdcns ce cas lend verso

C'est la formule du binûme généralisée. Il est inutile d'examiner le cas où A> i en valeur absolue, car dans celle hypolhése la série qui figure dans l'équalion précédente est manifestement divergente {voir p. ia5).

5° L'applic;ition de la même formule â la fonction Iog(r + A)donne

log(i-i-/,)= h

le reste est un peu plus simple ; les facteurs — renldansrexpn^^slonnrécédenle son [remplacé'

I qui (igumrruniLé.

xm. — ixTEHSion au cas de plusisubs variables.

TafonÉME. — Soient f{x, y) une fonction de j: et dey, fjsa dérivée prise en regardant x comme seule variable et y comme une constante, J'y sa dérivée prise par rapport à y en regardant x comme une constante; soient/"^ la dérivée prise par rapport à x de f'j.-,f\y la dérivée de f'j prise par rapport ày, f^^la dérivée de f'yprise par rapport àx et /'^, la dérivée de J'y par rapport à y ; on a

aiAflTflB VII. 19g

En eSet, od a, par le théorème de Tajlor,

' i + il/:, ,.,,,+ „..,

^t ceci suppose simplemeDty(^,^) conlinu dans le voisinage de X et y, ainsi que ses dérivées premières et fécondes prises par rapport à x; s'il en est de même des dérivées prises par rapport i x ct^ ou par rapport à y deux

, j3, y désignant des quantités qui tendent vers zéro [Uand h et k tendent vers zéro. Si dans la formule (i) on Aange^ eay-\-k, elle devient

joaissant toujours de la propriété de tendre vers zéro lur A et A ^ o ; en vertu des formules ( a ), cette dernière 'écrit

désignant un polynôme du deuxième degré en h el h, int les coefficients a, [3, y, t deviennent nuls pour A = o, et qui, par suite, tend vers zéro lors même qu'on

100 TR.tlTS D'ALCèBHE.

l'a divisé par hk, pourvu que le rapport 7 reste fini. Or;

on aurait trouvé de la même iaçon, en permutant l'ordre des opérations reiatlvea à h et A^,

Qi étant un poljnArae de même espèce que Q. Comparant cette formule avec (3), on a

D'après ce que nous avons dit de U et 12,, sî h tend vers zéro, le rapport -r restant arbitraire, maïs fini, il vient à la limite

On peut donc intervertir l'ordre de deux dérivations successives sans changer le résultat des opérations; mais ctd suppose la continuité des dérivées auxquelles on parvient et de toutes celles qui précèdent ou qui sont de mâme ordre. Si l'on avait plusieurs dérivées successives à prendre par rapport .aux mêmes variables x,j, ou même à des variables différeoles z, t, u, . ■ ., en pourrait intervertir l'ordre des opérations. La démonstration de cette proposition est calquée sur celle que l'on donne en Arithmétique pour prouver qu'un produit est indépendant de l'ordre de ses facteurs.

Ceci justifie la notation

r désigner le resuUat obtenu en prenant la dérivée de/

1 nombre de fois éRal h a-h^ +y, à savoir a fois par

rapport kx, ^ fois par rapport à 7 , y fois par rapport à z.

Théorème db Taïlor. — Considérons une fonction de plusieurs variables,y{j:, y) par exemple; la fonction

m.r+ti]

1 élrc considérée comme une fonction de la seule iriable t, que nous appellerons pour un moment if (']. La [brroule de Tavlor, appliquée à la fonction ^ (l), donne

J(« + l)= ,[.) + (,■(.) + , . .4- ^ J'^ ,^ T"(") + ""'. ,pouro. = o,

Eet I, désignant des nombres finis pour / := o el que nous tvons appris à écrire sous diverses formes. Calculons ç'(fi)}, ().''(uV . . .; nous avons

■'où, par le théorème des fonctions composées (p. 172),

il nous écrivons x et y en indice au lieu de x + h<ù et f •f-^d), uniquement en vuedcsimplifier l'écriture. Soit en

Snéral à prendre la dérivée par rapport à « de G^Vj , G jésignanl un facteur indépendant de u; le résultat sera

i*esl-â-dire le même que si l'on avait multiplié le terme

3oa TRAiTK D'tLGÂnnE.

primitit par^^ h -\-J^ A et traité les indices comme des laeteurs de la leltrey'; on aura donc symboli^^uement et en corrigeanL les résultats, comme nous l'avons dît,

et en général

Si l'on fait w = o, le second membre de celte formule ne change pas, car nous avons écrite au lieu de j- + iù!i, . . ., et l'on a

cette fois avec une Dotation plus régulière, mais en attachant toujours à l'exposant n le même sens que tout à l'heure; on a alors, au lieu de la formule (i). en remplaçant <f(t), ?(")! ■ ■ ■ p^r leurs valeurs et t par l'usité,

-(A/'+ZV*)--

Ë désignant une quantité nulle avec h et l, de la forme

par exemple si les dérivées de l'ordre n -|- i existent, et qui peut toujours être remplacée par un polynàmc de degré n en h et A^, dont les coefficients sont nuls pour A := o, A ^ o si les dérivées d'ordre n sont continues ainsi que les précédentes.

Il va sans dire r[ue la formule de Taylor s'applique à un nombre quelconque de variables.

xnr. — SDB u coNTiirtriTÉ des roircTioirs implicites.

Lorsque nous avons démonlré la règle qui permet de trouver la dérivée de la fonction y définie par l'équalion