CHAPITRE VIll

mais on n*a pas

fj^ y //î y

Nous allons calculer --—» — j-t ••• en fonction de dy^ d^j, ..., dxy d^Xy ....A cet effet, différentions la formule ( I ) par rapport à a: ; le premier membre deviendra —-ç •

Pour obtenir la dérivée par rapport à x du second, nous appliquerons le théorème des fonctions de fonctions et nous prendrons sa dérivée par rapport à t, que nous multiplierons par la dérivée y- de éprise par rapporta x; nous aurons ainsi

dx* dt dx

^g . dt ôt . A ^ ^r ., . ^ 1 1 d^Ydx — d^xdr

Mais -— = -— : quant à d -r-t il est éeal à — = t-t '-•

dx Ox ^ ox ° ôxr

On a donc

. d^Y <y^r â.r — r)'.r dy

<^^ ^=^ — dP — -'

(/Y Ô^xÔY

résultat qui diffère de -r— 5- par le terme Tzr^* Si l'on

voulait calculer ~^y il faudrait prendre la dérivée du second

membre de la formule précédente par rapport à £ et la

, . i. dt dt ...

multiplier par -— ou -r- ; on aurait ainsi

.d^ydx — â^xdr

d^ Y Jx» de

OU, réductions faites,

et ainsi de suite.

Ces formules servent à changer de variable. Le changement de variable est un problème qui a pour but, étant donnée une expression contenant les dérivées d^une fonctions^ de x, la fonction j^ et la variable x, de calculer cette expression en n'employant que les dérivées d*une autre fonction m prises par rapport à une autre variable |, la ionction yj et la variable \, y et x sont donnés, bien entendu, en fonction de ^ et de y}. Pour résoudre cette question, on remplacera d'abord y ei x par leurs valeurs en \ et u, qui sont censées données; puis, désignant par un d les dérivées de m relatives à ^, on aura

^ * dx dx

d}y à^r d.r — d^ r dy

ct.r* dx

et l'on remplacera ôy, àx^ à^Jf O^x, ... par leurs valeurs tirées des équations donnant x elj en fonction de \ et n.

d*r Exemple. — Que devient r équation -r-^ = o quand on

remplace xetj par \et fi donnés par les formules

[a] x=:Ç-+-ï3, jr = Ç — Tj.

En vertu de (2), on peut écrire l'équation proposée ,. . d'rdr — d^x ôr

or les équations (n) donnent

J,r = d= + (),. d'jT = d'^ -V d'iî,

et (è) devient, eu prenant J pour variable indépendante, c'est-à-dire en faisant d*^ ^ o (p. a4'')

TlII. — BEH&BaUE AU SÏÏIET DE LA FOBHULE DE TATLOB. La formule de Tajior peut s'écrire

/(x-FA) -/M = A/V) + T^/'W