RA

R désignant une quantité nulle pour fi =o ; ceci suppose seu- 1 !enieniy"(j-) continu. Si l'on fait A =^dx,f{x-\-h) — J{x) sera A/" et hj''{x) sera (//, li^J''{x) sera égal ^ d'y, etc. (p. 34a] par définition même ; on pourra donc écrire

f désignant un infiniment petit d'ordre supérieur à n. Cette lormule montre bien que la dill'érence entre A/" et dj n'est pas nulle; on voit qu'elle est égale à \d^j\ en négligeant des termes d'ordre supérieur au second. 11 ne faut pas oublier d'ailleurs que la formule (i) suppose /"(x) continu pour la valeur de x à laquelle on applique celle formule.

n. — DE8 DiFrÉuacTiEms totales.

Soit/*(ar, y, s) une fonction de plusieurs variables; on appelle di^èrenliclle totale, ou simplement différentielle J

dey, et Ton dénote par {//^Texpression

dx ^ dy -^ dz '

dans laquelle dx^ dy^ dz sont des accroissements arbi«

Iraires donnés à x, r, z. Quant à -r-> ->-9 -ri ce sont les

Ox ojr âz

dérivées partielles de f relatives à x, j-^ z\ en d'autres termes, -r- est la dérivée de / prise par rapport à x en lais-

sant j^ et z constants, -r- est la dérivée de/* prise par rapport à j^ en laissant x et z constants, etc.

Si, conformément à Tusage, on suppose dxy dy^ dz choisis de telle sorte que leurs rapports restent finis, en d'autres termes si on les suppose de même ordre, la différentielle dj pourra remplacer dans la recherche d'une limite de rapport Taccroissement A/de f. En effet, on a,, en donnant à x^jy z des accroissements dxj dy, dzj

^f=f[x -\-dx^y-{. djy z-\- dz) —f[x, X, z) ou

àf=/{x -f- rfx, j H- djr, z-hdz) — /(x, ^ -+- Jj, « H- rfs) -♦-/(•^»r-f-^(>', 2-^dz)—f{x,Xy z-^dz) ^-/(•^» r» z-i-dz) — /(x, j, z],

A/* est ainsi décomposé en trois différences qui peuvent respectivement se mettre sous les formes (p. 176)

dx/;^[x -h Odx, jr -^df, z-h dz), dyf^[x, ^ 4- ô'^//, z + dz)

dzf.[x,y,Z'^rdz\

cniipiTiiE vtii, 2^7

fl, 9', S'désigaant des oombres compris entre o el i.Maîs, si les fonctions y^,y^,yj'sonl commues (ce<jue n ous supposerons), les coefflcients de dx, dj, dz dans les Iroîf expressions précédentes diffèrent înrmimcnlpeu iief^,J^,

fl ou de y» -j-t-T-i el, par suite, ces trois expressions différeront de -p dx, -^ dj, -^ dz par des infinimenl petits d'ordre supérieur; on aura donc

a désignant un inlinimeni petit d'ordre supérieur.

La différentielle de rf/'se désigne pûTd'f: c'est la diffiirentielle totale seconde de dj. La différentielle de d^f que l'on désigne par d'J est la diffère ntîeile troisième de/,....

De même que nous avons remplacé les notations fj,f'y,

f, par-^, — j -T-, de même nous remplacerons la nota- " ^ o.T df oz "^

tion J"y^ , asseï incommode, par ta notation symbolique

nn sens précis aux éléments dx*, ây*. . . ., d'*^ ■/■ Cela posé, calculons d'^f. On a, par définition,

àj-

C'esl-à-dire, en observant que dx^ dy, dz ne sont pas fonc-

a48 TBAITB D*ALOâBfiB.

^ions de x^ y y z, puisqu'ils sont arbitraires.

dV d*f dV

(//(/5 dxd^ d-co;'

On peut écrire cette formule symboliquement

en traitant d aux numérateurs comme une véritable quantité; puis, en effectuant la multiplication par y, en l'écrivant à côté et à droite de d^ en numérateur, je dis que l'on a plus généralement

pourvu que, après avoir développé le produit

-j- ilx -h -j- ar -^ -^ dz Ô.V ôx oz

en considérant d aux numérateurs comme une véritable quantité, on écrlve^immédlatement après la lettre d". Cela résulte de la formule

^r àf , df ^ df ,

■en yertu de laquelle, pour différentier une quantité y. il BufSl de la multiplier symboliquement par

Pour difl'érentier (//", il faudra différentier chacun de ses termes, c'esl-à-dire multiplier chaque lermc symbolique-

meot par -r- dx -i

- -;- (Iz, ce qui donnera

Pour avoir d*J', on rouliiplicra celte expression par le synihoie (i), comme il a été explique, ce qui donnera