USAGE DE LA THÉORIE DES DIFFÉRENCES

Le calcul des différences peut servir à abréger considérablement le calcul des tables. Supposons d'abord que l'on veuille calculer une table dos valeurs d'ime fonction entière d;% par exemple, pour des valeurs de x en prof;ression arithmétique et qui seront si Ton veut o, i, 2, 3, 4i • • • ^ on s'appuiera sur ce fait (]ue A* j:* est constant et égal à i . 2.3. 4 = 24. On calculera alors — i *, o*, i^, 2*5 3*, ce qui permeltra de former les diflérences

A — i^, Au', A r*, A '2»,

et par suite les difFérences

A«- iS Aî()S A«i^

cii\PiTnB IX. 265

et par suite

el enfin

qui comme vérification devra élre égal à 24. On formera alors toutes les diflerences, A'i*, A'ci*, A'3*, ... qui sont en progression arithmétique de raison égale à 34 ; connaissant les différences 3*^™* et A^o*, on formera A* i*, A'-'y. \ ... par de simples additions, puis les diilerences premières et enfin les nombres 1 *, 2*, 3*, ... eux-mêmes. La même méthode s^applique encore aux fonctiono transcendantes quand la différence constante de la variable est suffisament petite.

EXERCICES ET NOTES

1. La rormulo de Newton peut s'ccriro en supposant la fonction y quelconque, mais possédant une n -h i*"»* dérivée bien déterminée, et pour // = Ax

/., , .. . r — .r„ A f(.r„) .r — .r„ /.r — ./\, \ A«/(.ro) /(.r) - / (.r«) H -. 1 . I — ^ h . . .

.r ..r,, /.r — .ro N /.r ./•„ \ V'^U'i)

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