CHAPITRE IX. 26'i

m. — CALCUL DE 7„ AU KOTEI DE A^o, . . ..

On peut calculer y„ en fonclion de j^o? A>'oi • • • ? ^^^'o comme il suit.

On a

el, par suite,

.ri = yo -4- A70, A>', = A/o -t- A«^o,

et, en éliminanl.^i et A^i,

^2 = ro -+- a A^o -^ A«^o,

on vérifie que Ton a

en montrant que cette formule qui a lieu pour n = i et /i = 2 a encore lieu quand on remplace n par /i -f- i , si Ton. admet qu^elIc a lieu pour une valeur déterminée de n. Et, en effel, en rappliquant à la suite A^o> AX«» Avo. .... on a

A/u = A vo -+- C » 1^X0 --r- C J A» vo -+-...:

en ajoutant cette formule à (i) et en tenant compte des relations

on trouve

ce qui établit la formule (i) pour toutes les valeurs de n,

Vf. — FORMULE D'HTERPOLATIOH DE HEWTOH.

La formule (4) du paragraphe précédent permet de trouver un polynôme de degré n prenant n -f- i valeurs

données j^o, yi? •••> Vn pour n valeurs données .r©, Xo-hh, ..., Xo-{-nh de sa variable j? en progression arithmétique. En efl'et, si Ton considère le polynôme

7o/x—x^ \ /.r — xo \ l"yo

\ Il ■ \ ft / t.j. ). . . n

X— Xo /x —

ilse réduit pour. r^Xoàj^oî pour:r = j^oH-'* ou — . * '^ — i ,

il se réduit à ^0 4- -\Xo ou à j^,, ... pour - r— 'ou

pour X =z Xo-t- ili il se réduit à

OU k yi et cela quand £ = o, i, ...,/?; le polynôme ^{x) jouit donc de la propriété énoncée. La foimule (i) porte le nom Aq formule d^ interpolation de Newton,