TDÂITÊ D'ALCÈnHB

Troisième remarque. — Si l'on ordoDoeles polynômes U el V suivant les puissances croissantes de x, on pourra de U retrancher le produit de V par le quotient a du premier tenue de U par le premier terme de V, . . . , comme si l'on voulait diviser U par V, et continuer ainsi l'opération indéfiniment. On voit que l'on aura ainsi

U = QV + U,.

St, pour fiser les idées, nous supposons le premier terme de U de degré p, le premier terme de V de degré q, Q sera composé de v termes el son dernier terme sera de deçré ^ -i- v au moins.

EXEMPI

- En div

I par I -

visant I

si l'on ordonne le quotient par rapport aux puissances croissantes de^. Dans le cas contraire, on a

On conclut de ces deux formules

Ces formules sont souvent utiles.

TH. — MÉTHODE DES GOEFnCIGHTS niSÉTEBHIirËS.

Dans un grand nombre de questions d'Algèbre, on a à chercher un polynôme de forme donnée, mais dans lequel certains coefficients sont inconnus; la connaissance des

* ^rwprrfl^s du polynûme en queslion peuvent alors servir ■ détrnniner ces eoefficienls. La mêlliode qui a pour biil ie Iniuver ainsi les coeHlcients d'un polynôme donl les popriéUïs soîit connues porte le nom de méthode des ttfffiaents indéterminés { il serait mieux de dire à dcter- •rf. Celle méLhode est une des plus fécondes que l'on aissc; elJe est d'ailleurs susceptible d'une grande , aUBsioa; nous la devons à Descaries.

r faire connaître l'esprit de la méthode, nous l'ap-

■ons ici à nvx seul e\emple, parce que nous aurons

t l'occasion tle l'employer dans la suite de cet Ou-

- Proposons-nous de diviser x* — S.r'-f-^x — i par

Le quolient est un polynôme inconnu du

d degré, le reste est du premier degré. On peut donc

' le (juotienl par ax' H- ix 4- c et le reste par

■, b, c-, p, *f sont alors des coefficients à déier-

indéter-minês. Mai

: dividende

fnt division est égal au produit du diviseur par le quottu itifiuenté du reste; donc on doit avoir

•fatiqoement ; le second membre effectué donne

Gtone il doit Être identique au premier, les coeflîcienls *n mimes puissances de x doivent ôtre égaux; on doit ^t avoir

i^^-/j — 3^. — 8=fl— 36-i-c. 7=/^— 3c -(-/), — i = c+^. b la première de ces formules on tire

o = i— 3 ou 6=3,

56 TRAITÉ d'aLGÊBBK.

de la troisième

— 8 = 1 — 9-1-c ou r = o, de la quatrième

7 = 3-j-/? ou /î = 4»

de la cinquième

— 1=7 ou y == — i.

Le quotient cherché est donc

x^ -h 3x, et le reste

et il est clair que Ton pourrait emplojrer la niétiie métliode pour faire une division quelconque.

EXERCICES ET NOTES

\. rt* -h ^* -+- c* — 3 abc est divisible par o h- ^ -f- r ; former le quotient.