V. — DmSION DES POLTHOHES ENTIERS

Diviser un polynôme par un autre, c'est chercher un polynôme qui, multiplié par le second, reproduit identiquement le premier. La division n'est pas toujours possible, mais nous allons voir comment on peut Teffectuer quand elle est possible.

Proposons-nous tout d'abord de diviser deux monômes l'un par l'autre.

Si deux monômes renferment les mêmes lettres, leur quotient se simplifie en supprimant des facteurs communs au dividende et au diviseur; ainsi, par exemple, proposons-nous de diviser 8a' i*c^rf par — 3a*i'c'rf*; le quotient

peut s'écrire, en supprimant au dividende et au diviseur quatre fois le facteur a, trois fois le facteur i, deux fois lo facteur c, une fois le facteur rf, etc..

D'une manière générale, pour dwUer un monôme par

un monôme, il faut indiquer la division et suppmtû tous les facteurs communs apparents; si, par excmpl une même lettre entre au dividende et au diviseur, el doit disparaître dans celui de ces deux termes où el entre avec le moindre exposant, et dans l'autre terme se exposant doit diminuer d'autant d'unités qu'il j en ava dans V exposant correspondant au premier terme. Ceci posé, proposons-nous de diviser le polynôme ? = .«"— S-t'-i-iox^— lox'-t-Sj: — «' par le polynôme

Ces deux polynômes sODl entiers ena-; nous supposerons; divisible par Q, nous appellerons V le quotient, et nou supposerons ce tjuotienl entier et ordonné comme P et Q P sera le produit de V par Q; donc, en vertu d'une re marque faite (p. 38), le premier terme de P sera le produi du premier terme de V par le premier terme de Q, don le premier terme de V sera le quotient du premier term de P par le premier de Q ou *■' : x*, c'est-à-dire x* :

-il*" — 3j'-i-3T

-jr. + Bx'-

— ■iJ* +

qx'

JC'-

3jr'

Si alors du polynôme P ou retranche te produit :c"x Ç (que nous avons écrit changé de signe inimédialemen' au-dessous du polynôme P), le reste (qui se trouve inscri au-dessous du produit x^Qchangé de signe) ne contieii'

•^''^P'TRE m. 49

L tira plus que le produit des termes du premier degré et du terme indépendant de jr dans V par le diviseur Q ; en raisonnant sur ce reste comme sur le polynôme P, on est conduit à diviser son premier terme par x', et ainsi de suite. On déduit de là cette règle :

Règle. — Pour diviser deux polynômes entiers et

ordonnés de la même manière l'un par l'autre : i ° diviser

le premier terme du dividende par le premier terme du

[ diviseur; le quotient ainsi trouvé est le premier tern,e

\ du quotient total; a" du dividende total retrancher le

I produit du diviseur par le premier terme du quotient; on

f obtient ainsi un premier reste sur lequel on opère comme

r le dividende total; on obtient alors le deuxième terme

T du quotient, et ainsi de suite.

On abrège quelquefois les calculs. D'abord on peut remarquer qu'il est inutile d'écrire complètement les restes partiels; on peut se contenter d'abaisser le seul terme dont on va avoir besoiu ; enfin on peut éviter aussi d'écrire les produits du diviseur par chaque terme du quotient, et faire les soustractions de tête ainsi qu'il suit.

Je reprends l'exemple précédent; j'ai trouvé x^ pour premier terme du quotient, je multiplie alors le diviseur I par.r', et je m'exprime ainsi : -t-o^'par -+- .r' donne -i-x*, et, pour retrancher, — x^ ; ce terme détruit le terme x* du I dividende; -h j;"par — 3 x' donne — 3x', et, pour retran- ■her, -i-ix* ; ce terme se réduit avec le terme — 5x' du dividende et donne — 2 j"', et ainsi de suite.

Nous avons supposé que le quotient èuil un polynôme F entier en x; s'il n'en était pas ainsi, en suivant le procédé que nous venons d'indiquer, l'opération ne se terminerait I pas; c'csl-à-dire qu'en retranchant du dernier reste le produit du diviseur par te terme du quotient indépendant [ de j, au lieu de trouver léro, on trouverait un polvnôme . Alaihre, t. 4

Ho TR4ITK a ALGËBHE.

de degré inférieur au diviseur. En désignant par R polysôme, on aurait évidemment

P = VQ + R.

car P se compose identiquement de la somme des produi de chacun des termes de V par Q, augmentée de R.

De là on conclut évidemment que, si le polynôme n'esl pas divisible par Q, la suite des calculs le montrer puisque l'on devra <!lre conduit à l'opération qui co sisterait à diviser un terme du polynôme R par un tern de degré plus élevé que lui : le polynôme R auquel c esl ainsi ramené porte le nom de reste de la division t PparQ.

Celte remarque nous permet de généraliser la déiinitic de la division des polynômes, et nous dirons que :

Diviser un polynôme P par un polynôme Q, c'est dt composer le polynôme dividende P en deux parties, dot l'une VQ soit le produit du diviseur Q par un poly nùme V appelé quotient, et dont l'autre partie soit u polynôme R de degré inférieur au diviseur.

l\ esl l'acile de démontrer que la division ne peul s faire que d'une seule manière, et qu'il n'esl pas possibl de trouver pour V et R des valeurs différentes de celle que l'on a trouvées par la méthode précédente. Supposons en effet, que l'on puisse trouver par dos procédés dilfé rents, R el R' étant de degrés inférieurs à Q,

P= VQ-i-R et P= V'Q-hR'i

on en conclurait

VQ + n^V'QH-R' on

(V — v'jQ = u' — n,

identité impossible, puisque (V — V')Q Rst au mnins de ne degré que Q, tandis que K' — R est de de^ré infér à Q, à moins que l'on n'ait V — V':= o, el par suite

rR=R'.

TnëoncME. — Le reste de la division d'un polynôme Ypar X — aesl égal au résultat obtenu en rem/ilaçant dans V te polynôme X pnr a.

En effet, soit P un polynAme entier en x, divisons-ie L par X — a, soit Q le quotient, R le reste ; on aura

J Celte formule a^ant lieu quel que soii .r, on peut y fair = fl ; on a alors, en observant que x — « esl nul,

Or, le reste R est de degré inférieur à :r — a; il ne contient donc pas x, el, par suite, il est égal à P quand x = a ; en d'autres termes, R est égal i la vateui'que prend P pour I x = n. c. Q. F. D.

ConoLLAiBE I. — Le reste de la division de x" — rt" I par X — a est a" — a" ou zéro; x™ — a" est donc divî- I lible par x — n, ce que l'on savait.

CoRotLAittsII. — j:™-|-a'" est divisible par x + 11 quand I m est impair, ce dont on s'assure en changeant a en — a.

ConoLLtiRE III. — x™ — fl™ est divisible par x -t- a I quand m est pair.

Coitoi.LjiinE ! V. — Le reste de la division d'un polynôme par ,r'-|-i s'oblient en remplaçant x' par — i dans ce Lpolynâme, etc.

n. — BEMABaOES BILATIVIIS S. LA THÉOBIE DE LA OtVISIOn.

Prt^miére remari/tiff. — ^Noiis avons montré commeoton pouvait trouver le quotient de deux polynàines, eti l'ordonnant suivant les puissances décroissantes de la variable; mais il est clair qu'on aurait pu Toidonner par rapport aux puissances croissantes. Ainsi, le ternnc de degré le moins élevé du quotient est égal au quotient du terme de degré le moins élevé du dividende par le terme dn degré le moins élevé du diviseur, car le produit du diviseur par le quotient doit donner le dividende, cl. d'après le théorème énoncé p. 38, le produit des termes du degré le moins élevé dans le quotient et le diviseur doit donner le terme de degré le moins élevé dans le dividende-

Supposons le premier terme du quotient trouvé. Si du dividende on retranche le produit du premier terme du quotient par le diviseur, le reste ne contiendra plus que le produit des autres termes du quotient par le diviseur; on trouvera alors le second terme du quotient comme on a trouvé le premier, en considérant le reste comme un nouveau dividende, et ainsi de suite.

Pour donner un exemple de celle manière de procéder, divisons i — x — ax^ par i-hx :

Nous raisonnerons comme il suit : i divisé par i donne i au quotient; en multipliant le diviseur ■ -f-xpar i et en le retranchant du dividende, on trouve — ^x ■ — ax* qui, divisé par i -i- x, donne le second terme du quotient — ix. Le quotient est donc i — 3 x.

Deuxièrtte remarque. — Je suppose que l'on donne deux

polynômes U et V entiers en x, que nous appellerons dividende cl diviseur, ordonnés par rapport aux puissances décroissanlesdex; divisons le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur; soit a le premier terme du quotient, qui pourra être de la forme — ou Kx", suivant que le degré /n de U sera plus petit ou plus grand que le degré n de V; de U retranchons le produit aV, nous aurons un reste U'; divisons le premier terme de U'par le premier terme de V ; soit b le quotient; de V retranchons ftV, soit U" le reste, et ainsi de suite ; nous aurons identiquement

l =nV^ U'. U'

ztV-

U— ' = ;v-HUt'i.

et par suite

(ij u=:;o + 6 + ... + /)v-t-u(-'.

Maintenant, si l'on considère un poljn6me contenant, ouUt des termes de la forme Ro*', oi!i K est indépendant de ;*',

des termes de la forme — ■, oo pourra dire qu'un polynôme

est de degré — m s'il ne contient que des termes de la

forme - et si la moins forte puissance de - est m. jr'' • j^

Ceci posé, n est de degré m — n,è est de degré m — n — i, c de degré m~ n — a. . . : U' est de degré n- — i au plus. U*de degré n — a au plus, . . . Donc la formule (i) monHf que, étant donnés deux polynAmcs U et V de degrés m et n, il est toujours possible de décomposer U en drtia- parties dont l'une soit le produit de V par un certain poly nânie(^de degré m — noyant v termes de la forme Ka'

^1 et dont l' nuire ioit un polj nome de degré n — >

au plus.