PRÉFACE DE LA TROISIÈME ÉDITION

L'édition que je |nibliR aujourd'hui de mon Trotté d'Algèbre diffère pour la forme des précédenles; mes idées sur l'enseignement de l'Algèbre n'ont pas varié beaucoup quant au fond, mais j'ai dû mettre à profit quelques observations de mes collègues, et surtout les perfectionnements récemment apportés dans les méthodes d'enseignement. C'est ainsi que j'ai pu donner tantôt im tour plus rapide à certaines démonstrations, tantôt plus de rigueur k d'autres qui laissaient un peu à désirer sous ce rapport. Enfin, j'ai cru devoir augmenter beaucoup le nombre des Exercices proposés, en donnant une solution très-sommaire de quelques-uns d'entre eux et en v joignant des Notes sur des questions étrangères aux programmes, mais qui m'ont paru instructives et intéressantes. On voudra bien remarquer, d'ailleurs, que les exercices que je propose sont le plus souvent tirés des œuvres des grands maîtres.

Je veux maintenant me justifier de quelques re-

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proches qtii m'ont été adressés et dont je n'ai pas cru devoir tenir compte.

On a critiqué la façon dont j'entrais en niatièi'ô (mais je dois dire que beaucoup de professeurs m'oiit approuvé); on prétend qu'il est difficile de donner dès le début des notions exactes sur les quantités négatives et qu'il faut rejeter leur théorie après les équations du premier degré.

Je réponds à cela que la quantité négative n'est pas plus difficile à saisir que la quantité positive, et que -t- 3 est aussi absurde que — 3 au point de vue concret. Tout élève comprendra parfaitement que l'on peut appeler quantité algébrique un nombre précédé d'un signe, pourvu que ce nombre et ce signe fassent partie d'une formule. Ainsi, dans 2 -+- 3 — 4i je dis que — l\ est un terme négatif du polynôme a + 3 — 4- Il n'est pas difficile non plus de (aire comprendre que ( + 3} x ( — 2) — — 3 X a est une définition. Je ne tarde pas à montrer que le but de pareilles définitions est de simplifier les énoncés de certains théorèmes. L'interprétation vient plus tard, mais jamais la quantité négative n'a apparu comme une chose absurde.

Au contraire, ceux qui ne veulent pas entendre parler de quantités négatives au commencement de l'Algèbre ne font que tromper les élèves et leur donner des idées fausses, en leur cachant l'absurde et en les faisant passer outre quand ils le rencontrent.

Par exemple, comment est-il permis de dire que l'on peut faire passer un terme d'une équation d'un membre dans un autre en changeant son signe avant

d'avoir parle des quantités positives et négatives ? le suppose qu'il s'agisse de résoudre

La soUirion est a; =; 4; mais, si l'élève ne sait pas c que c'est qu'une quantité négative, cette équation, a priori, n'a pas de sens, car, quand a; = 4i on a

Mais encore, si vous écrivez, je suppose, cette autre équation

pouvez-vous faire passer x d'un membre dans uti autre? Savez- vous d'avance si l'opération sera possible? Etc., etc. On croît avoir fait un chef-d'œuvre en passant du simple au composé; mais c'est aux dépens du bon sens, en trompant l'élève et en lui faussant le jugement.

J'ai souvent entendu dire dans le monde que l'étude des Mathématiques rendait l'esprit faux : c'est parfaitement exact si on les enseigne mal et si l'on exerce les élèves à ne pas apercevoir les fautes grossières de raisonnement que l'on fait «levant eux.

Telle que je l'expose, la théorie des imaginaires ne laisse aucun nuage dans l'esprit ; dans une Note placée à la suite du Chapitre IV de la II" Partie, j'ai indiqué sommairement une manière diflérenle de présenter cette théorie. Croit-on aussi rectifier le jugement des élèves quand on leur dit que l'on convient de considérer y— I comme une quantité qui aurait pour

carre — t? Pourquoi ne peut-on pas convenir aus! qu'en ajoutant 2 et a on obtiendra 10?

Plusieurs absurdités ont déjà dispani de t'enseigut ment : les séries divergentes, l'infini en tant que quar tité déterminée très-grande, etc. il faut espérer qu'oi fera disparaître aussi les théories qui font de \ — une quantité dénuée de sens.

Dans cette édition, je me suis mieux conformé au: programmes officiels que dans les précédentes; j'a développé plus simplement et plus complètement 1; théorie des déterminants, la théorie des fonction; dérivées et celle de l'élimination. Enfin, on voudri bien remarquer le dernier Chapitre sur les polynômes homogènes du second degré et leurs applications à la séparation des racines des équations; cette théorit m'a paru une bonne préparation à l'élude des coniques et des surfaces du second ordre, indépendamment des immenses services que la loi dite de l'inertie est appelée à rendre à la théorie des équations.

Que l'on me permette à ce propos une digression : plus d'une théorie importante a été portée à un haut degré de perfection lorsqu'elle a été régulièrement introduite dans l'enseignement, et, quand on compare cette ihèorie avec ce qu'elle était cinq ou six ans auparavant, on y rencontre des énoncés plus nets et plus féconds, une précision et une rigueur qui en ont fait un instrument riche et puissant. C'est ainsi que la théorie de l'élimination s'est bien perfectionnée depuis qu'elle est exigée pour l'entrée à l'École Polytechnique. Je suis convaincu que, si nos professeurs voulaient introduire peu à peu la théorie des formes

quadratiques dans leur enseignement, comme ils ont introduit autrefois celle des déterminants, on verrait cette théorie faire faire à l'Analyse des progrès prodigieux.

Le jour n'est peut-être pas éloigné où l'on pourra substituer au théorème de Stunn, déjà si riche en conséquences, une méthode réellement pratique pour la séparation si'ire et rapide des racines d'iuie équation.

Que l'on veuille hien se rappeler combien les élèves redoutaient autrefois l'introduction des déterminants dans les Cours de Mathématiques spéciales, Que de récriminations n'en tend ralt-on pas aujourd'hui si on les empêchait de se servii- de ce précieux inslrunient, qui vient si à propos soulager leur mémoire et leur sllention ! Peut-être n'est-il j>as Inutile de rappeler que c'est M. Moutai'd qui a surtout coutrihué par son enseignement à la vulgarisation de ta lliéorie des détermiiiauts.