I. — DES LIMITES ET DES IHCQUIElTSTiaUtEB

Les mois égaler, ajouter présentent, le plus souvent, nn sens assez net à l'esprit pour que I'od n'ait pas besoin de les délinir, loutefois nous ferons observer qu'il serait impossible d'en donner une définition générale parce qu'ils ont des significations 1res diETérenics suivant la nature des objets auxquels on les applique. Mais, s'il est impossible de donner une définilion générale de ces mots t-galcr, ajouter, il est facile, il est même quelquefois iadispensablu de les définir quand ils s'appliquent à des objets déterminés.

Qut^Ue que soit ta définition que l'on donne de l'additton de plusieurs choses, nous supposerons toujours que le résultat de cette addition est indépendant de l'ordre dans lequel on considère ces ciioses. Nous supposerons aussi que la définition de l'égalilé soit telle que deux choses égales à une autre soient égales entre elles.

On appelle quantités ou grandeurs mesurables, toutes les choses à propos desquelles on peut concevoir ou définir l'égalité et l'addition.

On dit qu'une quantité A est plus grande qu'une autre B, quand on obtient A en ajoutant ù B une certaine qnuntité C, et alors on dit aussi que B est plus petit que A.

IPtTHOOmiON.

■ Od dit que

des c\

nantîtes sont de rr

ême espèce, si 1

H peut les concevoir

égales entre elles

ou plus grandes

H plus pclitcs

es lin

s que les autres,

i enfin on peut

lei

^1 ajouter entre

elles.

K. Conaidéro

s des

quantités de m^me

espèce et, parmi

ers

■ quantités, cb

oisissoos-en une arbitrairement, donnons

lui

le nom d'unité, ; qui lui sont é

nités toutes les q

antités

appelons aussi u

i démontrerons que l'unité étant connue et déterminée, il est possible de désigner neitement une quantité déterminée et toules celles qui lui sont égales ait moyen de ce que l'on appelle un nombre.

Ainsi, le nombre qui mesure une quantité, est une locution ou un signe qui sert à désigner une quantité et toutes celles qui lui sont égales, de manière à les distinguer de celles qui sont plus grandes ou plus petites. Mesurer une quantité, c'est chercher le nombre qui la mesure. Nous dirons que deux nombres sont égaux, quand ils serviront à mesurer des quantités égales; un nombre sera plus grand ou plus petit qu'un autre, quand il servira à mesurer une quantité plus grande ou plus petite que la quantité mesurée par cet autre.

Ajouter dos nombres, c'est trouver le nombre qui mesure la quantité que l'on obtient en ajoutant les quantités mesurées par ces nombres.

Hcirancher uu nombre B d'un nombre A, c'est trouver le nombre qu'il faut ajouter à B pour obtenir A.

Nombres e>tiriis. — Les nombres entiers sont ceux qui mesurent les quantités résultant de l'addition de plusieurs unités. On convient de dire que les unités sont mesurées par le nombre un, que le résultat de l'addition de l'unité â l'unité est mesuré par le nombre deux, et l'on donne ainsi un nom particulier aux nombres mesurant les quantités formées d'addîtjous successives d'unités à

il exatnii:

oiére doDl lioisis, nous supposerons seiilenienL m nom à tout nombre natter et qu'on

'anité, nous n'avi ont élé que l'on ail donné l'ait reprt'senté par un signe particulier,

La mulliplicatcon des nombres entiers est une op(!riitîon qui a pour bnt de trouver le résultai de l'addilion d'autant de nombres égau\ à un nombre donni^ appela

iiltiplicandt: qu'il y a d'uniLés dans un autre nombre Appelle multiplicateur; le riîsultal est appelle produit.

L&dii'ision des entiers est une opération qu! a pour

U UULttlIL ui:^ u

iniiltiplicana

I Appelle multij La division but, étant (loi viseur, de iro dans le dividi successivemci 4p>e cela est p Nombres fr

s deus nombres appelés dividende et diviseur, de trouver combien de fois le diviseur est contenu dans le dividende, ce que l'on peut faire en reiranebani successivement le diviseur du dividende autant de fois ■«Joe cela est possible; ce nombre de fois est !e quotient.

Nombres fractionnaires. — Quelquefois l'unité est indivisible : c'est ce qui arrive, par exemple, quand celte unité est un être animé, mais le plus souvent elle est divisible, et il existe des quantités autres que celles qui réisolient de l'addition d'iinité«. Supposons qu'il s'agisse df. mesurer une quantité A qui ne puisse s'obtenir en ajoutant des unités; on partagera l'unité en deux parties égales qu'on appellera des demis, en trois parties égales que l'on appellera des tiers, etc.; s'il arrive que A résulte, par exemplf, de l'addition de sept tiers, on dira que A est mesuré par le nombre fractionnaire sept tiers. Ainsi les nombres fractionnaires sont ceux qui mesurent les quantités résultant de l'addition des parties égales de l'unité.

Les nombres entiers et fractionnaires portent le nom de nombres commensurables. Deux quantités sont dites tommensurabUi quand i) existe une unité qui peut

vir à les exprimer toutes deux en nombres entiers. Algilin; I. b

XVI tNTIloDl'CTWN.

Multiplier un nombre par une fraction, c'esl preadn celle fraction de ce nombre; diviser nn nombre par uni fraction, c'est trouver un nombre qui, multiplié par celti fraction, reproduit le nombre propOs«f.

Nombres incommensurables. — Nous appellerons timitt d^tine quantité variable une quantité fixe dont celic-c s'approche de manière à en différer d'aussi peu que l'oi veut.

Supposons que, ayant successivement partagé l'unité er 2, 3, . . ., n, . . . parties égales, la quantité A ne puisse jamais résulter de l'addition de parties égales de l'unité, on dira que A est incommensurable avec l'iinilé, et esl mesuré par un nombre incommensurable. Il s'agit mainteuani de définir ce nombre, c'est-à-dire de désignei toutes les quantités égales à A de maniéi-e à les distingue! de celles qui sont plus grandes ou plus petites. Pour cela, je dis qu'il suffit de dire quels sont les nombres commensurables mesurant les quanlilés plus grandes que A et les nombres commensurables mesurant les quantités plus petites que A. Eu eil'et, si l'on connaît tous les nombres commensurables mesurant des quantités plus grandes el plus petites que A, on saura, par exemple, que A est compris entre les m et les {m -*- i) n'*""' de l'unité, quel que grand que soit n, et, si une autre quantité B pouvait jouir des mêmes propriétés, A et B différeraient entre elles de moins que la n''""' partie de l'unité, c'est-à-dire d'aussi peu que l'on voudrait : B serait donc une des quantités égales à A. Ainsi, un nombre incommensurable sera défini en donnant le mojeu de se procurer les nombres commensurables plus grands et plus petits, c'est-à-dire les nombres commensurables mesurant des quantités plus grandes el plus petites que celles qu'il mesure lui-même.

On peut maintenant dire que l'on appelle limite d'un

ISTBOimr.TION. XVII

nombre variable, un nombre iixe dont ce nombre variable peut s'approcher de manière à en différer d'aussi peu que l'on veut.

Nous admettons qu'élanl données un nombre limité ou inimité de quantités (et par suite de nombres mesurant ces quantités), si toutes ces quantités sont inférieures â une quanlilé Q, il y en aura une et une seule fixe, telle qu'elles ne pourront h dépasser, mais telle qu'elles pourront en approcher de manière à eu diiférer d'aussi peu qne l'on voudra; dans certains cas, elles pourront arriver à l'égaler; dans d'autres cas, elles pourront s'en rapprocher, mais sans jamais l'égaler; en tout cas, cetle quantité fixe sera la limite des quantités considérées.

Ce principe est de toute évidence; quelques géomètres ont essayé de le démontrer, mais en s'appuyanl, â notre avis, sur d'autres principes bien moins évidents, et tanl6t en dissimulant la vraie nature de la quantité, tantdt en donnant des quantités incommensurables des définitions tout à fait funlaisisles et qui ne sont pas dans la nature des choses.

Il ne faut pas oublier que les détinitions ne sont pas toujours arbitraires, et que bien souvent elles ne servent qu'à donner de la précision à des idées déjà existantes dans notre esprit. Les définitions que l'on est obligé de donner au début de la Science sont de celte nature; la définition du nombre n'est pas arbitraire et la définition que nous en avons donnée n'est que la traduction précise, en langage scientilique, de l'idée que tout le monde, que l'enfant, se fait du nombre ( ' ).

l ' ) Il iioiu est impoilibte d'admellre eette diOnilion : une (racllao s'etl l'tniemble df ilfiix rilieri léparit par une barre. Dimaiidn ■ un vattax te qii'Ml la moilîj d"uo gileBU, il ne vou* répondra puqne c'ul un, (tpart de dflux p«r uno barre ; il coupen ton gnteia il lani

xvni

Noua pouvons donc poser le principe suivant :

i" Si l'on considèrf une suite illimitée de nombn croissants, mais moindres qu'un nombril donné N, i ont une limite gui est le plus petit nombre qu'ils /. peuvent dépasser, qu'ils l'atteignent effectivement o qu'ils ne l'atteignent pas.

2" Si l'on considère une suite illimitée de nombn décroissants supérieurs à un nombre donné N, (7s or, une limite qui est le plus grand nombre au-dcssott duquel ils ne peuvent descendre.

Il en ri.'sulle qu'un nombre incommensurable est I limite commune des nombres commensurables décrois sanis plus gninds t]ue lui el des nombres comniensurable mis plus petits que lui.

n. ~ GÉNÉBALISATIOlf DES fiDATBE OFÉRATIOHS.

Nous avons dL-lioi, d'un..- mani.'re -^i^iu-rAi^, l'addilioi el la soustracLion, mais la muUiplicalion el la divisioi n'ont pas eucore été définies pour les nombres incom inensu railles.

Soient A et If Jeu\ nombres commensurabies ou in commensurables; soient

«Il "jt ■ ■ ■■, "m — 't's nombres commensurables crois sants avanl pour limite A;

bi, Oj, .... b„, ... les nombres commensurables crois sants aytknl pour limite B;

c((, tti, . ■ ■ . 3„, ... les nombres commensurables décrois sants ayant pour limite A;

P,, Pi, . . . , fl„, ... les nombres commensurables décroissants ajantpour limite B,

. moindres que a

tite l; de même, les aoinbrea décroissants x, ^,, , tous supérieurs à a,A(, ils ont un

el = \.En effet. 1

.„)lA,-t-in„)-aa*„

i»-+-fr.«

[ Or aaJB„, b„bi„, t^a^a étant aussi petiis <]ue l'oa veut, il

f «n est de même de leur somme a«^„ — c„ba, ce qui revient à dire que a„p„ et «u^n dilTèreal l'un de l'anlre d'aussi peu que l'on veut, el il en est alors de même de leurs limites / et À; donc ces limites sont (égales, cnr si elles différaient, on ne pourrait pas prendre leur dîffé-

I rcncc aussi petite que l'on voudrait. Alors l ^z\ est ce

t <jue l'on appelle le produit de A par B.

Il est clair qu'un produit ne cLange pas de valeur quand on intervertit l'ordre des facteurs, etc.

lîcmarqne. — Les nombres sont des quantités puisque [ Vou a déRni leur égalité et leur addition.

Le quotient de deux incommensurables appelées diviy-dende et diviseur est un nombre qui, multiplié par le [diviseur, reproduit le dividende.

Soient D le dividende, <l le diviseur; je dis que le quo- ' lient existe toujours. En effet, soient A, i', 5, 3' des quantités commensurables satisfaisant aux relations

on trouvera toujours deni nombres if el ef satisfaisnnl aus relations

Si l'on fait tendre \ el A' vers D, 3 et 5' vers d. q di-

minue, (;r' augmente, mais on a toujours 17 >■ t^'; don et q' ont chacun une limite. Je dis que ces limites s égales; ea cll'el, eu appelant /■ la diiïérence entre A el et s la difierence entre 3 et S', on a, au lieu des f

mules{r),

et, en retranchant membre à membre,

ou bien

Mais, s et /' pouvant être pris aussi petits que l'on ve 5q' et Si/ peuvent être pris aussi voisins l'un de l'au que l'ou veut, et par suite q et q' aussi, ce qui prou bien l'esistence d'un quolienl unique.

m. - APFUCATIQN DES THÉOBIES FBÉCÉIIEIITES.

Les notions qui piùcodent suKistul pour édifier théorie générale des nombres, mais elles ne suffisent p pour en faire des applications : nous allons les complet*

On appelle produit d'une i/Hnjiii/t' A par un nomb entier n le résultat de l'addition de n quantilrs égal à A; produit de A par la fraction - . le résultat de l'adc tion de m quantités égales à la n''"' partie de A, ou 1 — de A; enfin, le produit de A par un nombre incommc surable 1 est la limite des quantités que l'on obtient t multipliant A par les nombres commensurables qui 01 pour limite (, et l'on démontre l'existence de celte limii en employant le même mode de raisonnement que si. était un nombre.

Ceci posé, nous appellerons rapport de deux quanuie

K, B de même espèce le nombre par lequel il faiil mtillialier B pour avoir A. Ce que nous voulons prouver, *'esl ; te rapport de deux qiiantiiés est le quotient des nombres qui mesurent ces quantités, quelle que soit Vunilê qui sert à les mesurer.

D'abord, je dis que le rapport île A à B est le nombre qui

mesure A quand Best pris pour unité; cela est évident si ce

rapport est commensurable. Si, on effet, il est y, A est les |

1 de B el, par suite, A est mesuré par le nombre 4 si B est

Kl'untté. Supposons maintenant le rapport de A à B ïncom-

iurabie cl égal ù i ; A étant le produit de B par i sera

P^ompris entre les — el les — ^^ de B par exemple, n étant

i nombre que l'on pourra prendre si grand que l'on

voudra, — et ■ désignant les valeurs de i à - près.

Si B est pris pour unité, le nombre [* qui mesure A est

Iftussi compris entre — el : donc/ et jxdi(ri''renl entre

|«ux de moins de —, c'est-à-dire d'aussi peu quel'on veut; lils sont donc égaux. r. q. f. n.

Maintenant, calculons le rapport r de A à B. En pre- ' nant U pour unité, les nombres mesurant A el B seront; par exemple, a et b. Pour former A, nous fornious B en mulli])IiBnl U par A; pour former A, on multiplie B par r : donc A s'obtient en multipliant U pur /», puis le résultai par r; mais on peut aussi l'obtenir en multipliant U par a; mais, U étant l'unilé, le produit de U par un nombre est une quantité représentée par ce nombre, donc

TRAITÉ