On appelle série récurrente une série telle que

dans laquelle il existe une relation linéaire entre p coefficients consécutifs, telle que

HOfi -h Aj /7/i4.| -h ... -h Ap i ûfi-hp—l = O.

Les nombres >0) ^i) ••• constituent ce que l'on appelle Y échelle eie relation. Cela posé, prouver que toute série récurrente est le développement d'une fonction rationnelle, et trouver l'expression de cette fonction, connaissant réchclle de relation. Réciproquement, le développement de toute fraction rationnelle est récurrent.

7. Soient a, b, c, . . ., / les racines de F(x) = o; soit f(x) une fonction entière de x, La fonction symétrique

f{ci)^f{0)-^..,-^f(l)

est le coefficient de - dans le développement de -p— -'/(a-).

F'jx)

(Caucut.)

8. Prouver que, si /est un entier inférieur de deux unités au moins

l68 TRAITÉ d'algèbre.

au degré de

on a

ni ^ /'

A quoi est égal le second membre poor les autres valeurs entières

de/? (EULER.)