I. — DÉCOKPOSinOH EH GABBÉS

Nous désignerons par afj-=aji un coeflicîent indépendant des variables X|, X2, • . ., Jc„. Alors lout polynômey homogène du second degré en x pouiTa se présenter sous la forme

Ainsi, pour n = 2, on aura

car a,2X|a*2 -h fi-n Xj j^ = arijoJ^i-ï'a = 2^121X1X0.

On donne quelquefois le nom de formes aux polynômes homogènes i^quantic des Anglais) ; elles sont quadratiques, cubiques, etc., lorsquVIles sont du deuxième ou troisième degré; enfin elles sont binaires, ternaires, etc., suivant qu'elles sont à deux, trois, etc., variables. Nous n'emploierons pas ces dénominations, évidemment inutiles.

Théorème 1. — Tout polynôme homogène du second

(*) Quoique les matières de ce Chapitre sortent des programmes classiques, nous engageons les éléyes à les lire ; ils y trouveront résumée, tous une forme analytique, la théorie des coniques et des surfaces du second ordre.

degré à n variables est une somme de n carrés positifs^ négatifs ou nuls (c'est-à-dire de carrés précédés d'un coefficient positif, négatif ou nul).

Pour le démontrer, posons

(a) Z^i/yx/ry = X* -hXJ -♦-. . .-+-XJ,

X|, X2, . . . étant définis par les équations

En identifiant alors les deux membres de (2), on aura

n(n — 1] , . , . , «(«-»- 1) — ^ relations entre //* quantités a/y, et, comme — ^ ■'

est toujours plus petit que n^, on pourra déterminer les a/y d'une infinité de manières. Nous allons voir que l'on peut toujours effectuer cette décomposition directement.

Supposons d'abord que l'un des coefTicientsan, a22» ..., ann ^^ soi^ p2is nul. Soit «H ^o, on aura

y désignant un polynôme du second degré en X2, X3, . . ., Xn' On peut alors écrire

(4 ) /= a-\ (^/ji-r, -+- a^^x, H- ... -h a^^x^ )* -h/",

j ' désignant un polynôme ne contenant plus Xi. Si /in, /Ï22i • • •) ^nn sont tous nuls, on observera que

f désignant un polynôme ne contenant plus X\ ni x^* On peut mettre le produit qui entre sur la première