V. — Corollaire

Pour terminer, je démontrerai un théorème important, souvent admis sans démonstration, ce qui est d'autant plus fâcheux qu'il n'est pas vrai sans restrictions.

Reprenons les fonctions Çi, 02, . . . , ç„ et supposons (|uc les équations

.10) ?i--o, <pi = o, ..., <p» = o

admettent les [jl solutions finies et distinctes en x^^

Û^il» <*81» • • •» *«! » Q'ijl) *ÎJ1» • • • » */l|l

(rVst supposer les o identiques aux/), (X étant toujours éj^al à mi, /7I2, . . . , ffin- Si nous posons

73/ s'annulera en vertu de (7),. pour toutes les valeurs des x annulant les (p, excepté pour Xi = a,/, .rj — - a^/, . . ., et pour :ri = ai/, Xo = a^/, . . . , on aura Tij/= 1 . En outre, on aura

(11) nj| -1- CJj -i- . . . H- Wji, :^ I ,

car le premier membre de cette équation est égal à i pour les valeurs des j* qui annulent les (p et est indépendant

des Xy en vertu du ihcorèine démontré § II. Soit alors ©«+1 une fonction entière quelconque des x^

s'annulera avec les cp et Ton aura

d'où l'on conclut

û désignant une expression de la forme

où

sont des polynômes entiers; nous désignerons paru', Cy',. .. des expressions de même forme. Si dans (12) on fait i = I, 2, 3, . . ., [xetsi l'on ajoute en tenant compte de (i i),

en sorte que, si ç,;+i s'annule avec les ç, o/i awra ouy si l'on veut,

Xj, Xa, ... désignant des polynômes entiers en Xi , x^^ Xa- C'est le théorème. que nous voulions établir; il suppose les solutions a/y au nombre de jjl distinctes et finies.