III. — Formation de la résultante

Posons maintenant

/^. ^ ?y~^?yV*ii> "^îii •••î *.î/)

les <pyy^ seront, si Ton \euJ, des polynômes entiers en x^<, .ra, . . . , oLii, 0L2ij ... du degré mj-—i\ cette formule n'est au fond que la formule de Taylor où les termes ont été convenablement groupés. Nous supposerons (mais seulement pour plus d'élégance dans les résultats) que les ç'-^ ne changent pas quand on change jîi en a^-, x^ en ao/, ... à la fois et vice versa,

[Cette hypothèse peut être justifiée en observant que, si l'on permute x^ et ai/, x^ el ag/, . . . , la formule (7) devient

(8) ?y(ai/, «îi-, ...) — ?y -'-(«!/ -^i)'}'yi-+-

i^^jj^ désignant ce que devient cpy^ après la permutation.

En retranchant (8) de (7) et en divisant par (2), on trouve

?>- 9y(a,i, aj/, ...)-r ^(xi -ai/)(o;i — 4'), )-+-...

et les fondions ^((py;j -h ^y^) remplissent bien la condition que nous avons supposée.]

NOTES. ao3

Posons alors

! ?1 ?î/ ••• fin

^/y = ^/(«ly» «îy> — ««y) " Oy(«i/, ««y» • • • » ««y ),

les fonctions 0/ jouissent des propriétés suivantes :

1** 0/ ne change pas quand on remplace la première colonne par cpi(a,i, aj/, . . .), cp2(a,/, aa/, . . .), ... et cela en vertu des relations (7).

2° 8 est de degré ^^m^ — n en a,,, aj,, ..., et, par

3« On a

£/ désignant une quantité indépendante de Xi , ^2, . . . , x». En effet, les coefficients des termes qui contiennent les x dans le coefficient de <pi sont des polynômes en au, a^/, . . .

de degré inférieur à y^/WA — /i; le coefficient dexf xj . . .

dans £/ est donc une fonction symétrique nulle, en vertu

du théorème de Jacobi.

Cela posé, considérons le déterminant symétrique

. . 6,jjt

le,.

OjM

Le produit 0A|A2...A|x est nul pour aii-^ais, pour aiiT-ais, .... pour a^ -- a^y^ : donc il est divisible par G', (ail); on verrait de même qu*il Test par tous les

G^- (a/y ) ; par suile il Test par leur produit : donc

OAi At • • • An.

nGi(a„)...nG„(a«jt)

ou, en vertu de (6), y: -pr ^r- est un poljnôme entier par

rapport aux a/y qui peut se mettre sous lu forme

«Il

0 étant de degré (jL(2m — n) au plus, par rapport aux a/y. Le déterminant précédent est donc au plus de degré

or on démontrerait, comme on Ta fait pour 8, que s'il n'est pas indépendant des a/y, il est encore divisible par D1D2 . . . Dp^, ce qui ne peut pas être, son degré étant inférieur à celui de D| Do ... Dm. Pour évaluer ^r — ..-; on

peut donc supposer les fonctions/ quelconques, les faire coïncider, par exemple, avec <pi, ^29 • • • ^ ?/}) niais alors

±: 0/y = cp/»-4-i(aiy»" «ly» . • . , ««y)

le déterminant est nul quand {<y, en vertu de (7), et pour i=J il se réduit au déterminant

doLit à^ii âoLnt

ou actuellement à D/, puisque les /sont identiques aux 9,

On a donc, dans l'hypothèse actuelle,

donc on a, identiquement, en général,

or D| Da . . . ne dépend pas de la forme des fonctions f , e en dépend à la rigueur, mais seulement par les termes du degré le plus élevé ; il ne contient pas Xn^^ . Donc 6 = 0 est la résultante des équations (4).

ly. - Propriétés de la résultante.

Il reste à prouver que la résultante est de In forme

qu'elle est de degré (xm^+i, et que le système 1,4) 21 [f-nin^i solutions.

Pour établir le premier point, nous renverrons au § V ; nous observerons ensuite que, si Ton pose

en général Ç/ sera nul pour Xi = a^j, x^ - : aay, . • . , si i^j et égal à 1 dans le cas où i'-^j'^ pour s'en convaincre, il suffit de faire a^i :^ an , X2 = aoi, ... ; on a alors

équations satisfaites pour Ç, = 1 , ;2 == o, . . . , Ç^^ = o. Si l'on forme la fonction ?i 4- ?2 + • • • -:- i/i» il arrivera parfois qu'elle sera constante, et par suite

2o6 TRAITÉ d'algèbre.

De cette formule et de (9), on tire

«Il

ou

Â.|y A3, . . . désignant des constantes et X|, X3, ... des polynômes entiers en j;|, X2, . . . , J?/i.

Pour évaluer le degré de 6, nous donnerons au coefGcient de xf ^J . . . :r^ dans <p/ l'indice m, — p — q , . , — 5, il sera de ce degré en Xn^\' Si l'on assimile les indices à des exposants, B/y sera par rapport aux indices des cp et aux lettres a/y de degré 2 m - - /i ; 0 lui-même sera de degré

c'est-à-dire de degré (xS/n - ^^.^k ou y-nin^i- C'est le

degré de la résultante en Xn^\ •

Il reste à montrer que les équations (4) ont bien (i.m/,+1 solutions, au moins dans le cas général ; on voit bien que, la résultante étant de degré [JLm;,^.| , il y aura au moins [x/W/i^i solutions, mais on ne voit pas qu'il n'y en aura pas plus. Or, si, pour une valeur de Xn^\ tirée de la résultante, il pouvait y avoir plus d'un système de valeurs de x^ , X2> • • • ? les équalions (9) seraient satisfaites pour plusieurs valeurs des Ç, les premiers membres étant nuls; alors 8 et ses mineurs seraient nuls : on aurait

et 6 =0 aurait une racine double, ce qui n'aura pas lieu en général; d'ailleurs, 6 = 0 aurait alors moins de (JL/n„+i solutions et on rentrerait dans le cas général.

D'ailleurs une solution quelconque sera déterminée par la formule (théorème de Jacobi)