CHAPITRE IV

a» t'i est la racine m»^"»* de a„.

De la seconde formule on lire

ou

Supposons que Ton ait calculé 6/ et 6/i ; du polynôme P OD retranchera (A/x' 4- 6/, x' "')'"; le reste sera compos<! comme il suit :

Or, dans celle expression, le terme du degré le plus élevé est

en régalant au terme du degré le plus élevé dans le résultat trouvé directement et que nous désignerons par c, on trouve

Connaissant 6/j, on retranchera du polynôme P la quanlîlr

el Ton continuera ainsi jusqu'à ce que Ton tombe sur un re>te nul ou sur une soustraction impossible à effectuer.

Tn. ~ CAS DE LA RACINE GABBÉE.

\jn cas de la racine carrée élant le plus simple, nous Loii> V arr<}lerons un instant, et d'abord nous ferons obser-

70 TRAITÉ D'ALGÊBRB.

ver que Ton a

= a'-i- 'lab -!- 2ac -r-. . .-+- ft*-h2 6c H-. . .-^ c'^.. .-4- /*.

Cette formule s'obtient en faisant n = 2 dans la formule ( i ) (p. 67) ou bien encore directement, en observant que

= a* -*- 7.ab -+- aac h- 6* -+- 26c -*- c',

Le carré d'un polynôme se compose donc, comme on voit» de la somme des carrés de ses termes et de leurs doubles produits.

Ceci posé, proposons-nous d'extraire la racine carrée du polynôme

Si nous désignons par

la racine, nous trouverons, comme tout à l'heure,

bi = /«/!, bt-\ =

2 bi

Nous retrancherons de P la quantité (t/^r' -|- 6|ï.r'"*)^; nous obtiendrons enfin 6/2 comme tout à l'heure; mais, au lieu de retrancher de P le carré de

biX* -+- 6/iar'-* h- 6/jar'-*,

nous nous contenterons de retrancher du premier reste que nous avons obtenu la quantité

lile. Un

mphlieE

aingiie potirraitsans

Aoale itre apportée dans le calcul Je la racine rn"°", mais \ei ca\cu\s exigeraient une grande attention de la part de celui i^ui se livrerait à ce genre de sp^citlaiions.

Tm.

mUHftlIES.

Nous avons supposé que les poljnâmes dont nous c)i«rcbtons les racines étaient ordonni^s par rapport aux BtÛMaDces décroissantes d'une même lettre; l'hypothèse tantmire aurait pu être adoptée; elle conduit à cette condusioD :

L'exposant du terme du degré le moins élevé d'une puîssiDce n' *** exacte doit être zéro, n ou un multiple de n.

Il est souvent avanlogeux de modifier la marche que siHts avons suivie ainsi qu'il suit :

On développe l'expression Q™ par la formule de la p»ee <i- ; on identifie ensuite le polynôme P avec le déveliippenient de Q". On a ainsi des égalités qui permettent, i t'aide de procédés que nous étudierons plus loiu, de délennîner h^, à,, . ■ ■ • oi.

.\^rt.lcATlo».

Troui-er la condition pour que

tait un carré ptiifait.

L'expression précédente ne peut élre que le carré A\ Mlvnônie Ju premier degré. Posons alors

OD bien

oa en déduit

72 TRAITÉ d'ALGÉBRR.

De ces formules on lire sans difficulté

Cette relation est donc nécessaire pour que le polynôme P soit un carré parfait : elle est sufGsante. En effet, alors on a

P = ax* -f- 2 y/acx -f- c ou

P = (v^)*a?2 -r- 2 /à s^cx -f- (y/c)' ou

P=:(/âa:-4-v''c)'.

EXERaCES ET NOTES.