CHAPITRE IV

oLni les éléments d'une solution \ soit enfin coi, 0)2, . . ., iù^ [x polynômes choisis de telle sorte que le déterminant

soit différent de zéro, coy,- désignant la valeur de coy pour Xi = ai/, 0:2 = «211 •••• Supposons enfin les solutions de (1) distinctes et normales.

Etant donné un polynôme entier *]f prenant pour Xs =0Lii^ ^2 = otai, ... la valeur A/, on pourra toujours déterminer des constantes a^ ^2, . . . donnant lieu aux [x

équations

<];, = ai Wii -f- aitiifi ... 4- a^itù^iiy

car le déterminant S ±: coh ... to^^^ par hypothèse, n'est pas nul; il résulte de là que :

1® Toute fonction entière ^ peut se mettre sous la forme

les X désignant des polynômes entiers et les a des constantes,

2** Toute fonction entière des solutions de Ci) est équivalente à une fonction linéaire à coefficients constants des iù.

Si Von pose (ce qui est possible)

«<j/(Oi = 6iiu>i -+- 6|ju>, ... -h ^ijjtWjjt,

Le déterminant S ±: on 622 • • • l^]^\s. sera le premier membre de la résultante des équations

ÂO TRAITÉ d'algèbre.

en effet, si dans (2), on remplace j?i, :c2i ••• par les solutions de (i), on obtient [jl^ équations, en vertu desquelles

donc

Les poljnomes i, jti, ^'f, . . ., x^~^ étant pris pour (0|, (O2, . . . , (0(17 I^ déterminant 2] =iz (Oh (022 • • • n'est pas nul, puisquMl se réduit au produit des différences des ai/; on peut donc énoncer les théorèmes suivants :

Toute fonction entière de a:|, Xx^ ,,,^Xn est, à des multiples des f près, égal à un polynôme entier de degré [jl — i à une seule variable Xiou X2, " "

Toute fonction entière d'une solution (i) est équivalente à une fonction entière et de degré jjl — i d'une des quantités a/i, aa/,

On peut prendre en général pour (0|, (02, ..., coji. les termes du produit

( I -H ari -+- rrj -h . . .4- arj*»-*) (i h- a:j . . .)

( i -H a?,, -f- arj -h . . .-^-^f*""*).

C'est en s'appujant sur cette remarque, qu'il n'a pas pleinement justifiée, que Bézout a fait connaître la première méthode d'élimination. Dans le cas qui nous occupe, la mise sous la forme

Xi/i H-, . .-h X;,/„-f- ai 0)1 f- ajojj-f-. . ,-^a^iù

(le la fonction ']* est la généralisation la plus naturelle de l'opération à laquelle on donne le nom de division, '} est alors un dividende, f\^fys ... jouent le rôle du diviseur, /7| <i),-+-r/2W2 -+-... -h ajjLWjijoue le rôle du reste; il est en X\