L. - algèbre, IV

34 TRAITÉ d'aLGÈBRK.

(1*011 Ton tire

mN{m, n) = {m-~ n — i)N(/n — i,n)

ou

]\(//i,Ai) — rs(m — I, /i).

TVT/ \ m -h n — 2-. -

N(/?î — I, /i) = N(/w — JL, /i),

d'où Ton déduit

Si l'on considère un polynôme non homogène à n variables, il a le même nombre de termes qu'un polynôme homogène de même degré, à /i 4- i variables de même degré; le nombre M(m,n) des termes d^un polynôme du degré m à n variables^ non homogène, sera donc N(m, /2 + i) ou

(m -'-\)(m'^i^ . . . ( m -^ n) (m-^n)l 1 . 2 . 3 . . . n ~ ml ni '

Il résulte de là que Ton peut assujettir un polynôme du degré m k n variables à prendre

valeurs données, pour un nombre égal de valeurs simultanées données aux variables, au moins en général. Toutefois, il convient d'examiner la question de plus près avant de conclure d'une façon absolue.

Nous commencerons par prouver que :

L'on peut toujours trouver un polynôme f du degré m

CIUPITAE IV.

à n variables x,, jtj, .. .. x„ nul pour

systèmes de valeurs de ses variables. Ce polynôme est, en général, bien di-lerminé à un facteur constant près.

Je suppose ce théorème démonlré pour les polj'nomes à » — I variables, el pour les polynômes de degré m — i à n variablt^s. Je vais ie di^montrer pour les polynômes de degré m à n variables. A ceL effet, je décompose / ea groupes de termes liomogènes, et je pose

/=?-— T™-i-f-.---^Çu.

'j, désignant l'easemble des termes de degré /. Soit ç/j la

valeur de s; pourx, = ;r,/, ar^ = J'jy Eu exjn-imant

que/est nul pour v systèmes de valeurs des x. on aura V équations de la Torme

Ifl) <f™/-?m-i,/-1---.-^?oy-o.

On pourra résoudre ces étjualions par rappurlauxcoeflîcienls de fm-iifm-i, •■■<^ii en fonction linéaire des coefficients de Çm, et cela en choisissant, par exemple, Saj=^ i; en effet, le déterminant des équations, considérâmes à ce point de vue, est le dénominateur commua des inconnues dans les équations que l'on aurait à résoudre, si l'on voulait exprimer qu'un poljnome de degré m — r est nul," pour autant de systèmes de valeurs des variables, qu'il y a de coefiicients moins un dans ce poljnome; ces équations ont des solutions bien déterminées en vertu de notre hypothèse.

Si l'oa porte les valeurs des coefficients en question dans les équations {a) non employées, celles-ci prennent

EA(a,

OÙ A, fi, k sonl indépendants des valeurs x,i, x^i, ... qui eiilreiil dans les étjuaùons, dans k-squclles on a fait la subslilulioQ. (n,-, au contraire, sont des argumentstiomogènes par rapport à ces valeurs des jr,,, x-,,; ... ; il reste alors à montrer que le d«^termînanl des coeflicients A des 01/ n'est pas nul. Or, ce déterminant est celui des inconnues qu'il i'audrait considérer, si l'on vou lait assujettir le polynôme if™ à s'annuler pour un nombre de valeurs des variables x, , x^, . . . , Xa-i , égal au nombre de ses coetrictenls moins un; par hypothèse, ce dckerminant est différent de zéro. Donc la proposition que nous voulions établir est démontrée, grâce aux liypolfiêses que nous avons faites.

Or, le théorème est vrai pour un polynôme quelcoocjUR du premier degré, donc il est vrai pour un polynôme du second, etc.

Bien entendu, ce théorème sera soumis à de nombreuses exceptions et dous ne tarderons pas k en signaler.

Puisqu'il est possible de trouver un polynôme de degré m nul pour M{m, n) — i systèmes des valeurs des variables et renfermant un facteur arbitraire, on pourra disposer de ce facteur de manière à lui faire acquérir une valeur donnée pour un nouveau système de valeurs des variables; et, par suite, il sera facile d'écrire un polynôme de degré m prenant M(m, h) valeurs dormées pour M(n?, n) systèmes de valeurs données des variables; ce polynomt: sera de la forme

P,+ P, + ...-Pv.i.

1*,- désignant un polynôme nul pour v systèmes donné» des variables et égal à l'une des valeurs données pour le v-l-i système.

CHAPITfiB IV. 37

Il y aura, bien entendu, de nombreux cas particuliers dans lesquels ces conclusions seront en défaut.

n. — BEUnONS EHTBE LES SOLUnONS.

Supposons que Ton se donne

ml ni

•systèmes de valeurs de o^i, x^y •••? -^T/,, et que l'on astreigne un polynôme de degré m à s'annuler pour ces systèmes de valeurs; il restera n coefficients arbitraires dans ce polynôme qui sera de la forme

y^ A» •••>/« désignant des polynômes entiers du degré m en général bien déterminés, et X|, ^2) •••>^/* des constantes arbitraires. L'équation

admettra les m" solutions de

<i) /i=o, /2 = o, ..., fn=o;

donc, en se donnant

ml ni

solutions d^un système d'équations du degré m à n inconnues, les m^ autres solutions sont bien déterminées et sont par conséquent fonctions de celles-ci. Il y a donc entre les solutions

m^-^n — ; — relations.

min!

Tout porte donc à penser qu'il y aura également des relations entre les solutions d'un système quelconque.

38 TtlilTÉ d'^lgëbre.

En écartsDt les cas paiiiculiers, on peut dire (jue l'équation

/,■ ddsignaut un polynôme de degré «t,, est l'équalîon la plus générale admettant les solutions de (i)

»\, m désignant le plus grand des nombres m,, ni.^, .... m„, y.i est un polynôme arbitraire de degré m — (', le degré de (a) étant assujetti à ne pas dépasser m.

L'équation («) pourra remplacer l'une des équations (i) de degré m, car elle admet les ijL = m,m2 ...m,, solutions de (i), et le système (i) (a), abstraction Caite d'une

équation de degré r Or, en se donnai

let que ces [jl solutions.

solutions, on détermine, autant qu'ilpeut être déierininé, le premier membre de (a); donc, en se donnant v solutions du système (i), les autres sont déterminées.

11 est bien difficile d'écrire les relations distinctes qui existent entre ces solutions, mais on peut théoriquement les obtenir en éliminant les coefficients entre les équations de la forme

ni.

S DIVEBSES rORlISS OïïE FUnT R£V£IIB UITI rOHCTIOH DES SOLVTIOITS CDHlinKES.

les équations algébriques en Xi,.i ii,,m2, ■■ ., rn„\ soient ^i. =m,, . .

x,, des degrés