I¥. — THÉORÈME D'ABEL

Il existe entre les solutions des équations d'un système d'équations telles que (i) des relations différentielles, qui sont la généralisation d'un théorème d'Abel resté célèbre et qui a reçu un grand nombre de formes diverses. Nous allons faire connaître les relations en question.

Je suppose que l'on fasse varier simultanément tous les coefficients des fonctions y*; une solution x^^ x^y ..., Xn quelconque variera, et alors, en différentiant les équations (i) dans cette hypothèse et en représentant par un 5 une différentielle totale prise en faisant varier les coefficients c, c', c", . . . des/", mais en laissant les x constants

en sorte que 6r = -— ac -f- ^- de -\- - . . ), on aura

* de oc I

P- d.Ti-h...-h -^ dXn -H 5/, = O,

Si l'on résout cette équation par rapport kdx\^ dx^^ ..., dx„, . . ., on a

Oxi ôxi

4a TRAITÉ d'algèbre.

D désignant, comme toujours, le déterminant

Supposons o/*2 = 2/*3 . . . == ù/fi = o, c'est-à-dire supposons que l'on fasse varier seulement les coefficients de y*i, les autres restant fixes ; on aura simplement

dxi

Multiplions par G(j:i,^2, . . .), en désignant ainsi un

polynôme de degré inférieur à S m — n — /Wf, et divisons

dD par —ry ; nous aurons

ÔXi

Remplaçons 0^1,^2) ••• successivement par toutes les solutions 0C| 1 , 0C21 , « * • I ^i2> ^22? • • • f ^1 ti) ^211) • • • de (ly et ajoutons, nous aurons en vertu du théorème de Jacobi

^ G(giy, «;y, . . . ) doLjj __

à%ij

C'est là une relation, qui en contient un grand nombre d'autres, et qui est remarquable en ce sens qu'elle ne contient pas les difi'érentielles des coefficients variables de/i, ni ces coefficients eux-mêmes.

Supposons que les équations (1) se réduisent à deux