CHAPITRE IV

Téquation (4) prend la forme

dOLij

C'est surtout sous cette forme que Ton emploie le théorème d'Abel.

y. — HOTIOirS SUR les DISGBnmiAlITS.

Le discriminant d'une fonction est le premier membre de l'équation qui exprime qu'elle s'annule pour un même système de variables que ses dérivées, ou, ce qui revient au même, le discriminant de la fonction

rendue homogène par l'introduction de la variable Xq^ est le premier membre de la résultante des équations

à/ àf df

dXo OXi ÔXn

qui ont pour conséquence y*= o, en vertu de l'équation

^ àf àf àf

•^ àXii ÔXi ^ 0Xn

m désignant le degré àef. Nous poserons

et la recherche du discriminant de / reviendra à la recherche de la résultante des équations

/o = o, /i — o, . . . , fn — o.

Nous supposerons dans la suite que (i) /t=o, /î = o, ..., fn — o

ont leurs solutions distinctes et normales.

Si/o = o ^ plus de

solutions communes avec (i), elle admettra toutes les solutions de (i), et il existera une identité de la forme

OÙ Xo> ^11 • • •? ^n désignent des constantes. Cette relation peut se mettre sous la forme

à(jj Xj, Xg, . . . , \,i)

X|, X2, . . . , X« désignant des fonctions linéaires, et cela d'une infinité de manières ; donc f est une fonction homogène de n fonctions linéaires et homogènes ; f n'est pas, en réalité, fonction de n variables quand on rompt l'homogénéité. Si l'on écarte ce cas, on voit que le discriminant ne peut pas s'annuler pour plus de

systèmes des variables.

Le discriminant d^iin produit de deux polynômes est nul.

En effet, soit ç et if deux polynômes entiers en x^^

àf r

on aura, en posant toujours -^ =^fi^ • • • >

ces équations sont satisfaites pour cp r= o, '^ = o ; elles ont donc une infinité de solutions communes et leur résultante est identiquement nulle.