II. ab'— ba

I b. Deux roeflicieats n'appurtenant ]

3° Trois cocrCcienis nuls.

4° Quatre coefficients nuls.

Dans chacun de ces cas, nous avons supposé c et <.' nuls ou différents de zéro, et toujours la condition ab' — bi^ =. o nous a conduit à affirmer que les équations (1) et (a) étaient incompatibles ou insutïisanlcs.

VU. - DSS PBOBLËH£S D'&LQtBBE QUI CONDOISEITT i DES ËHIIATIOKS DU FÏŒliniE DCGBÉ.

Pour résoudre un problème dans lequel le résultat cherché est un nombre ou même se compose de plusieurs nombres, on désigne les inconnues, c'est-à-dire les quantités à déLeiiuiuer, par des lettres ; puis on suppose les

F résuhaU connus eï l'on indique, à l'aide des signes algé- I bri([ues, le^ calculs qii'ît laudrait elTectuer sur les li-llrcs qui désignent les inconnues pour vérifier qu'elles s« ni bien les solutions du problème : on arrive ainsi à des (équations que l'on essaye de résoudre. Lorsque ces équations peuvent élre résolues, les solutions que l'on en déduit , sont ordinairement celles du problème que l'on a mis en I équation : je dis ordinairement, parce qu'il arrive quelquefois que les équations auxquelles ou est conduit fuurnt non-seulement la solution chercbée, mais encore , des solutions étrangères à la question que l'on traite. Nous De pouvons pas i présent donner la raison de cette anomalie, sur laquelle nous aurons bien souvent l'occasion de revenir. Donnons quelques exemptes.

PttoBLÉME I. — Laiommede deux nombres est 18, leur différence est 6 : trouver ces deux notnbres.

Soit T le plus petit des deux nombres; le p! sera jr + 6, puisque leur diiîérence est ti, et, somme l'ait 18, on doit avoir

grand leur

Ainsi le plus petit des deux nombres est (i. le plus ^rand «l donc 13.

Pboblsme II. — Dans quel système de numirratîon te nombre i5 est-il représenté par 23?

Ici l'inconnue est la base: désignons-la par jt. Le nombre total des unités contenues dans ^3 est de deux fois ta base augmentée de 3. On a donc

aj-t- 3 =;i5,

Ainsi la base da système cherché est 6.

pRODLÈMB III, — Ua marcfiaud vend en deux Jours 600 oranges et reçoit en tout ^o francs, àsavoir la francs par jour ; mais te second jour II vend ses oranges deux fois meilleur marché que le premier : on demande à quel prix il a vendu ses oranges et combien il en a vendu chaque Jour.

Soil X le nombre des oranges vendues le premier jour ; le pris, de ces x oranges csl de 20 francs; donc le prix

Le second jour, il vend le reste de ses oranges, c'cslà-dire 600 — x pour 20 francs ; donc le prix d'une orange

leur marché que le pi

mais, comme elles sont dcu' T jour, on doit avoir

h,n mulliphanl par — — ■ les deux membres de celle

équation, on risque d'y introduire les solutions x^^a ou = 600; mais il n'en est rien. En effet on trouve

600 — JT^ 2X

Ainsi, le premier jour, il a été vendu aoo oranges; par conséquent, on en a vendu 400 le second jour. Le premier jour, le prix d'une orange était o^', 10 ; le second jour, il était o^^oS.

Pmovi-r.MC IV. — Deux joueurs ont gagné 6000 freines à eux deujc en deux parties; après la première partie, h gain du premier joueur est triple de celui du second; te premier donne alors iQoo francs au second; après la féconde partie, le premier joueur a gagné deux fuis plus fae le lecond, mais il lui donne encore In moitié de son gain, après quoi ils se trouvent chacun en possession de iooo francs ; on demande quel a été le gain de chaque fWteur à lajin de cliaque partie.

Soiulegain du second joueur après la première partie, le fflia du premier sera "ix; soit y le gain du second jdorar it la fin de la seconde partie, le gain du premier ten 3/. Or le gain total des joueurs faittioou francs: on *dooc

;ij X -i-ix -i-y -r- ijr ^ 6000.

bis â )« fio de la première partie le second joueur posriile^-f- tooo, puisiju'il a reçu 1000 francs; àlaGndela Mt(>nde partie* il possède d'abord jr+iooo, plus son pin y, plus la moitié j' du gain du premier; il a donc a tutit

lll X -t- 1000 -\-x + j = 3ooo.

Laëqnatioos (i) et (a) peuvent s'écrire 4* + 3j = 6000,

«o lirr de ce* équations

y = 400, * = 1 aoo.

AÏDiï le E»»«* **" premier joueur est de 3x ou 36oo francs iprés la prcniièrc partie, et de iy ou 800 francs après la

Tti»iTii d'algèere.

et cejieudaiil le pi'obli'ine n'a. pas de solulioo, car si l'on veiil vérifier la solution trouvée, on est coodiiil à ôter aoo iiûis d'un sac qui en contient i5o, ce qui est absurde.

Mais nous dous attacherons surtout à la discussion des solutions négatives, parce qu'elles donnent lieu à une théorie qui exerce une influence capitale sur toutes les branches des Mathémutiques.

Conitneni;ons par essayer de résoudre le problème suivant :

Un père a ()8 aiis, son fils en a 4° '■ o« demande au bout de combien de temps t'dge du père sera le double de celui du fils.

Désignons par x ce temps ; au bout du temps x, le père aura GH-\- x années, le fils 4o + x, et l'on doit avoii

n trouve

en résolvant cette équatioi

Ce résultat prouve que l'équation (i), qui est la traduction du problème en langage algébrique, n'admet pas de solution positive ; en d'autres termes, le problème n'admet pas de solution. Et en elTet, l'âge du père n'étant pas le double de l'âge du fils, il ne le deviendra jamais, et le rapport des deux âges se rapproche toujours de i .

La solution négative x = — la n'est cependant pas aussi absurde que l'on pourrait croire au premier abord. En effet, changeons x en — x'; 3? sera égal à 12, ctl'équation (1) deviendra

»ccuc dernière équation admet évidemmetil pour soluduo ^^ la. L.Vqualion (3) est ta traduction algébrique l^lu problème suivant :

€^n père a 68 ans, son fils en a ^o : à ijiiellc époque \'V4igc tiu père a-l-il été le double de celui tlujth?

Nous trou%'Ons alors pour rcpoDse ; il y a la ans.

En général, toutes les fois que l'ou trouve une solution [ Béçative à un problème, il faut changer le signe de la lettre L qui représcDle l'inconnue dans l'équaliiin à laquelle conduit 1 le problème ; la solution négative devient alors positive, et, \ efi le plus souvent la réponse d'un problème analogue à I celui qui 3 été posé, et dont l'écjualion raodiûée est la Ira- ) dnctioR algébrique.

Obser^'ons qu'à l'aide d'une simple convention deux ^ pn>blèmes peuvent être compris sous le même énoncé. Rrt>r<Tnons le problème de tout à l'heure ; posons-le en ces tenues :

f^n f>èrv a 63 ans, son fils en a 4" '• ifuand l'dgc du ocre scra-t-ii ou a-l-il vté le double de celui du fils?

Ainsi posé, le problème est en quelque sorte donble; mais si nous convenons de regarder comme positif le temps à venir, comme négatif le temps passé, si nous convenons, en un mot, que les locutions (/«hj —N an- ^HÔcs et i^Jf' " ^ années soient équivalentes, nous raison- Knerons ainsi qu'il suit : soit x le temps positif ou néntif au bout duquel Tâge du père sera le double de celui do fils.

Au bout du temps X, le père aura U8-1-x' années; ceci e»t évident si l'Age du père devient dans l'avenir double decriut do fils. Dans le cas où l'âge du père a été le double de celui du fils, 68 -h :r représente encore l'âge du père

lorsqu'il est le double de celui du fils, car, x' diisignanl la valeur absolue de j; cet âge esl tiS — x', c'esl-ù-dire 6S H- jr. De même, à l'époque cherchée, l'âge du fils esl 40'hJ:: or on doit avoir