DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ ET DES QUESTIONS 001 EN DÉPENDENT
DE U RAGIHE GABBËE.
Le carré d'une quaulilé ou celle quaiitilé esl, comme on fadeurs ^gaux ù cette quî esl une quantilé essenlicl
On appelle racine cai qui, multipliée par elle-
raciue carrée d'une quanlité A se désigne pi bole slÀ..
seconde puissance de :, le produil de dcus
tilé; il en résulte que tout carré
ornent positive.
e'e d'une quantité une quantité
léme, reproduit la première; la sjra-
Théouêmb.
vacille carrèi égales et lie qui esl zu'ro.
En effet, s< nition même,
— 1° Les quantités négatives n'ont pas de s; a" les quantités positii'es ont deux racines signes contraires; 3° zéro n'a qu'une racine
)it .r la racine carrée de A; on aura, par défi-
Or, si A est négatif, l'équation précédente n'a pas de racines, puisque le premier membre esl positifetle second négatif; si nous supposons idors A positif et si nous désignons par a le nombre pusitirqui, élevé au carré, donne
t-quatiou peut encore s'écrire
Or il n'y atjuedeux manières d'annuler le premier membre de c*Ue équation : c'est de faire x — o= ooux-i- a = o, d'où l'on lire
:eprésentaDt par ± à volonté les
^A désignant l'une quetconi|<ic des deux valeurs de la ncine carrée de A, la valeur positive, par exemple. Si A ^ o, il est Lien clair que de l'équation
j:'=A ou ,r»=o
OD ne poorra conclure que x=^ o.
Nous avons admis qu'il existait toujours un nomlire positirqai, élevé au carré, reproduisait le nombre positil'A. Nou« avons vu en elTel que, s'il n'existait pas de nombre coaimensurable tel que'
on él»il convenu de définir racine carrén de A la limite ver* laquelle convergeaient les fractions croissantes dont le cjuné était inférieur à A. Donc, etc. c. Q. F. n.
Rappelons enfin que le carré d'un binûme (n-l-ftl se coraposc lïu carré de a, du double produit de a par b et du
l5f; Tn.lITl! n'AI.GÈBRE.
carré de b ; c'est ce qu'exprime la formule suivanlc :
n. — BÉSOLQIIOIf DE L'ÉQUATIOH DU SECORD lEGBÉ A \SSL nCQHRUE.
Nous allons tout d'abord démontrer ud théorème qui sera fréquemment employé dans la suite et qui est Tondamental dans la théorie des équations du second degré.
Théohèke. — A (7( B étant tous deux rendus positifs.
era équivalente aiix deux suivantes '.
al VÀ=^B, ^ = — ^B ou v^Âz^dr^/D.
Eu effet, la formule (i) peut s'écrire
Or, le produit ( y'Â -t- ^B J ( y'A — \/l3 ) ne peut s'annuler que si l'un deses facteurs est oui, et, réciproquement, il s'annule dès que l'un de ceux-ci est nul; les valeurs des inconnues qui satisfont à (i) satisfont doue à (à), et vice versa.
La forme la plus générale sous laquelle peut se présenter l'équation du second degré est
a désignant une quantité essenùellement différente de zéro; J et c sont d'ailleurs quelconques. Pour résoudre celte équation, on commence ordinairement par diviser
CHAPITBB VII. l57
chacun des coefBcients par a {*), puis on pose
■Al -=p. --7-.
elle prend alors la forme
Si Ton observe alors que x^ 4- px sont les deux premiers termes du carré de a- -f- ordonné par rapport aux puissances décroissantes de x, Téquation précédente pourra s'écrire
ou bien, en faisant passer les termes connus dans le second
{*) On peut résoudre directement l'équation (i) de la manière suivante : oo la met sous la forme
xJa-t — -] — h c -- Of
« t l'on TériGe aisément^ en développant le carre indiqué, l'identité de cette formule avec Téquatiun (i). On déduit immédiatement de là
pois
a \'a 1 yja
xya-i -= = -±1 — »
ou
oa enfin
tya = ^
membre,
Jusqu'ici nous n'avons fait subir à l'équation (3) que des
transformations incapables d'altérer la valeur des racines.
Appliquons le théorème démontré au commencement de
ce paragraphe ea observant que la racine du premier
membre est x-1--; nous aurons, au lieu de la formule (7),
Mai»
obseï
-Vï-'^-V?-'^
1 peut arriver directement à ce résultat en faisant T que X -\ — élevé au carré, devant reproduire ^ a, est par déQnition la racine carrée de cette quantité.
Or cette racine a deus valeurs H en sorte que l'on a
pourvu toutefois que y soit positif ou nul- Dans le
cas où Y — '/ serait négatif, l'équation (y) et par suite l'équation (3) n'auraient pas de racines, car il n'e&iste pas de quantité x -t- - dont le carré soit négatif. De l'équation (9) on tire enfin
-IW^
cniPlTRE VII.
Si Von remplace p eiq par leurs valeurs {4), il vient
— -1 — ■ ŒïT^
"Il bien
Les formules (lo) et (ii) sont d'un fréquenl usage dans r.'Vnalyse; nous allons en donoei' immédiatement quelques applications.
PaeuiÊitE APPLicATios- — Rêsonifre l'équation
Noos assimilerons cette équation à l'équation (5), nous ferons p = — 4> ? = 3, et, en appliquant la formule (lo), nous trouverons
ainsi l'une des racines est 3, l'autre i, ce que l'on peut «érificr a posteriori.
Nous avons vu que, si ^- q étail négatif, l'équation du
•econd degré n'ndmcttait pas de racines. La formule (lo), dans ce cas. ainsi que la formule ( 1 1 ). deviennent absurdes, en sorte que ces formules mêmes, lorsqu'on ciierchcra à les appliquer, indiqueront l'absence de rocinc;.
Deusiéxb applicaiioh. — Jtésoudie l'èguatioii
l6o TRAITE DALGCBRC.
La formule (lo) donne
j: .= I zh y I — 7 ou bien
X = I zr: V — C> ;
ce résultat montre que l'équation considérée n'a pas de racines.
Troisième application. — Résoudre l'équation
jr*-h 7.r -h lo = G.
Nous pourrions encore appliquer la formule (lo); mais, comme nous introduirions ainsi des fractions, le coefiicient de x n'étant pas divisible par a, c'est à la formule (i i) que nous aurons recours. Nous assimilerons alors l'équation proposée à l'équation (3) ; nous ferons a = i, i = 7, c = 10. Nous aurons alors
-7dzj% — 40
c'est-à-dire
Xz=: — 5 ou xz=i — 2.
Quatrième application. — Résoudre l'équation
Il faut faire, dans la formule ( 1 1 ), a = 36, b = — 1 2, c = i ; il vient alors
i2zhv/i44 — 144
ou
ici nous ne trouvons qu une racine.
