II

1 a-hX ^-t-X C -hl

(Sylvester.)

^\—p\ «2— Pi «rt— ?l

~pl «î - p2 «« — pi

est égal au produit des difTérences que l'on peul faire avec les quan-

lilés a, multiplié par le produit des dilTi^rencc» que I'od peut former

>c les quanlilés p et divisa par le produit de toutes le:^ dilTérences

telles que a, — 5

(C*ucnT.)

10. a. Cayley a appelé déienninanis gauches ceux dans lesquels on a la relation a,'yt-ayf= o', si I'od a en outre a/,: = o, on dit que le délerminant est gaucbe et symétrique. Un dëtermitiant gaucho et symétrique qui a un nombre impair d'i^lémenls est toujours nul. (On démontre ce tliéorème en s'appuyant directement sur la définition que noua avons donnée des déterminants et on montrant que les termes "i»">f ■■- "«i ^^ "iic^i--- "in sont égaux et do signes contraires ou nulâ. ) (La notation est celle de l'exercice 7.)

Un rjéterminant gauche et symétrique qui a un nombre pair d'éléments est lo carré parfait d'une fonction entière de ses éléments. (Nous ne proposons pas ici la dèraonatralion de ce théorème, mais on pourra la trouver quaod on aura lu le dernier Chapitre de col Ouvrage. ) La racine carrée d'un déterminant gauche et symétrique est ce que l'on appelle un pfaffien. ( C*ïleï. )

11. Le déterminant I. ± anou. . .nni-nn-u où an+n = «m+i = ' pour i < n -)- r et dans lequel <z„.^,,+i = o, ne change pas de valeur quand on remplace t>ij par aij-irhi-\- hj, les quantités A,, /i], ..., /(„ A,, ^'i, ...,k„ élant arbitraires; pour le prouver, on multiplie le délenniuant proposé successivement par

(SVLVESTER,)

12, Oiifrnges il cnnsiilier. — Daltzer, Irad. par Hoiiel; Brioschi, Ind. parCombescure; X'Jlgébre siipéri/'iirv, de Salmon, trad.parHesal ; Dostor ( c'est l'Ouvrage le plus complet et le plus élémentaire }. Le tout en vente chez Gautliier-Villars.

13. Voici un exercice propre à familiariser le lecteur avec le calcul numérique des déterminants. Les quinze déterminanlâ que i'ou peut

former en preoant quatre lignes parmi les suivantes sont nuls :

^^ az

— flj

i4. Un déterminant ne change pas de valeur si l'on change le signe des éléments dont la somme des indices est impaire. ( Janni).