L. — y^^Sébic, I
Nous avons trouvé que les racines élaienl données par la
-^Vf
Nous avons vu que, si la quantité -j — q était négative, il
n'y avait pas de racines, et alors la formule (2) devient absurde; on convient dans ce cas de dire que 1 de l'équation ( 1 ) sont imaginaires.
Lorsque la qui
-q est nulle, l'équation (i;
n'admet qu'une seule racine; elle est égale à — -■ On CDDvieot de dire que l'équatioD (i) a deux racines égales
Euûn, lorsque^ — q est positif, on a deux racines dîtes réelles et illégales. On peut observer â ce propos que, si la quantité q est négative, l'équation (1) a toujours deux racines réelles et inégales, car alors ^^ q sera toujours positif.
Lorsque dans l'équation
(3) a^-k-bx + c = a
c et a sont de signes contraires, il y a forcément une racine positive et une négative, car dans la formule (2) le radical
a une valeur absolue plus grande que ■
Lorsque, les racines restant réelles, y est posilif, on voit que les racines seront de môme signe, car alors la valeur absolue du radical dans la formule (3) est moindre que
CBAPITRS VII. l63
— — • Sî p est positif, elles seront négatives; sinon, elles
seront positives.
Si nous désignons par xf et af les racines de l'équation (i)y nous aurons
Eln ajoutant ces deux formules membre à membre, on trouve
Eo les multipliant membre à membre, on tronve
On peut donc énoncer le théorème suivant :
Théorème. — La somme des racines de V équation (i) est égale à — p\ leur produit est égal à q.
Ou, ce qui revient au même :
La somme des racines de l' équation {Z) est égale à — ?
leur produit à - • ' a
Si donc on se proposait de former une équation du second degré admettant pour racines deux nombres donnés
l6{ TRAITé D*ALGÉBBC. \
x' et j/', il suffirait d'écrire
Du reste, en résolvant cette équation, on trouve
x' -4- y' zb v'( ^•' -+- Jc" j* - 4^' .-l"
ou
c'est-à-dire
Il arrive dans certaines questions que Ton connaît la somme s de deux quantités a/ et a.^ ainsi que leur produit P; pour déterminer ces quantités, il suffit d'observer qu'elles sont racines de Téquation du second degré
En effet, la somme des racines de cette équation est s, leur produit est P; du reste, il est facile de prouver que Téquation (4) fournit la solution complète du problème. Kn effet, si Ton pose
on voit, par la première de ces équations, que
el, par conséquent, la seconde peut s'écrire
x'[j— x')=P Dv bien
X* — Jx'-l-P=0,
