CHAPITRE VU. l

ce qui prouve que ocf est une racine de Téquatlon (4). On verrait de même que od^ est racine de la même équation. Si l*on donnait

ji/ et — xf seraient racines de l'équation

X* — dx — P = o.

ExEAiPLE. — Trouver deux nombres dont la souwie fasse \a et dont le produit fasse 27.

Ces deux nombres sont les racines de Téquation

j:' — 1 2.1- -h 27 = G, d^où ron tire

et, par suite, les nombres cherchés sont 9 et 3.

lY. — DISCUSSIOH DU TBIHOHE a.r^-\- bx-^c.

Proposons-nous d'étudier la manière dont varie le trinome

■ 1 .V = fi'^^ -+- b.r -{- c

lorsque l'on fait croître x depuis — 00 jusqu'à -i- 00 . Si nous posons, comme plus haut,

il fi

la formule (i) donne successivement

j = r; x' -h - X -I - , \ u ai

f.) y-za' x'^-y p.r A- q\

'OU TntlTÉ D. ALGÈBRE.

Nous dtstingueroDs trois cas :

i" y — y ^ o. L'équation y -^o a ses racines réelles et inégales. Dans ce cas, la formule (2) donne

y étant posilif, on peut le po!

mule préciidenle donne

(4) r^^li^^^X-

là^.cl la for-

Celle égalité montre que le trinôme j est la diiTérence de

deux carrés; ces carrés sont f j-*-- 1 ijziza et{Xy'±Ti)*,

le signe -h placé sous le radical convenant au cas où a est posilif et le signe — au cas où il est négatif.

Le Irinômej' peut encore se mettre sous une autre forme. L'équation (3) peut s'écrire

c'est-à-dire, en désignant par y etx" les racines de l'équation jy =: o,

Ainsi le trinftmcjj', dans le cas que nous examinons, est le produit de deux binâmes du premier degré. Si noua identifions cette valeur de j avec celle que fournit la for-

CB*PITBB TH.

niile(a], il vient

Cette relation ayant 1

a (Chap. III,

S retrouvons les rela tH posé, supposons i

.ions démontrées page 164.

> o, et reprenons la formule (4):

Si nous faisons varier x depuis — oo jusqu'à — -> j^ya dé-

I croître , car le seul terme variable I x + - j décroît et

[ s'annule pour j;= — -•SÎDouscoiilinuonsà faire croître x,

le terme I x + - j va croître ''.t repassera, pour des valeurs

de X équidistantes de > par les mêmes valeurs que pré-

c^emmenl, en sorte que la plus petite valeur que peut prendre r correspond à x ^ — -1 demi-somme des racines

1 de l'équation r ^ o. Cette valeur est — aX" ; du reste, I pour X = ± X , j' est égal à l'infini.

Pour a = o,jr est toujours nul.

Enfin, pour rt <^ o, il est facile de voir, sans recommen- L cer la discussion, que t' croît depuis — 00 jusqu'à — aX*

[.lorsque x varie de — 00 <k — -, puis décroît depuis — iil' IJaMpi'l — 00 lorsque x varie de — - -|- à 00 .

lC*S TaAITB o'ALGàBRE.

a® Supposons -j — (j = o. L' équation j = oa ses racines égales. Dans ce cas, on peut écrire, comme plus haut,

Mais, comme Ç — « = o,

Le trinôme ^ est donc un carré parfait si a est positif et un carré parfait pris en signe contraire si a est négatif.

X variant de — oo à — -) demi-somme des racines,

y décroît si a est positif, croît dans le cas contraire ; x variant de — - -f- à oo , j' croît si a est positif et décroît dans le cas contraire.

3° Supposons Y — ^ <C <>• L'équation j z=. o a ses racines imaginaires. On a toujours

pV p^

Mais, comme y — q <C^f ^^ P^"^ poser

il vient alors

et dans ce cas on voit que j' est, au signe près, la somme de deux carrés dont l'un ne contient pas la quantité x; aussi y ne peut-il s'annuler pour aucune valeur attribuée

à cette lettre ; c'esl ce ijui explique pourquoi, dars ce cas, l'équation^ ^ o n'a pas de racines.

Les variations de y s'étudient dans ce cas comme dans le premier; de cette discussion résultent plusieurs faits tm portants :

i" Si réqualion j ^o a ses racines réelles, le trinôme j' passe dcus fois par zéro; il est de même signe que son premier terme ax' quand x n'est pas compris entre les mcioes, ce qui peut se voir sur la formule

I) esl de signe contraire à son premier terme quand x varie entre les racines y, a"; enfin il esl la difFérence de deux carrés.

g" Si l'équation j- ;= o a ses racines égales, le trinôme jjesl toujours de même signe que son premier terme ax', excepté lorsque X devient égal à l'une des racines ; il est un carré parfait.

3" Si l'équation j':=o a ses racines imaginaires, le Irinùme y conserve toujours ie signe de son premier terme ; il e:sl, au signe près, égal à la somme de deux carrés.

Daiiâ tous les cas le trinôme atteint sa plus grande ou sa

plu» petite valeur ou, comme l'on dit, son maximum ou

K>n minimum, pour x = — - ■

Nous venons de voir que, dans le cas où le trinôme

é^lé à léro avait ses racines égales, il était un carré parfait, du moins au signe près. Il est facile de démontrer qac :

Pour ^u'un trinôme du second dugré soit un carré parfait, il Jaut ifue, égalé à zéro, i'èi/uniitin résulla/it" ait le-j racinvi igahs.

170 TAAITB D'AUSÉBRB.

En effet, ax^-^bx-hc ne peut être que le carré d'un binôme. Soit mx + n ce binôme; on doit avoir

ax^-h bx -f-c=r(mjr-f-/y)'.

Or, en égalant (mx-+-/ï)* à zéro, on trouve deux racines égales. Du reste, la formule précédente donne

et, en identifiant.

On déduit de là

m=z^a et nz=^'Cy et par suite

aa^ -h bx -\- c = [x^u -i- ^cj •

En remplaçant dans Téquation

2/WI = b

meln par leurs valeurs ^ et y/c, on a

l^aczrz by

ou bien, en élevant au carré,

4«' = 6*, b* — ^ac'=:o.

Nous retrouvons ainsi par une autre voie la condition qui doit être satisfaite pour que Téquation

ax^ -^ bx -\- c^^Q ait ses racines égales.

V. — EXAHEN DU CAS OU LE GOEFnCIElIT r* EST TBÈS-PETR. La formule

CMAnns vn. 171

qui donne les racines de l'équalion

(a) oj:'+ ijT-H f = 0,

a été démontrée pour toutes les valeurs de n différenles de z<?ro. !I est intéressant de rechercher ce qu'elle devient qoaad OD y introduit Thypotlièse a = o, qui fait disparaître l'une des racines de l'équation (a) en l'abaissant au premier degré; en d'autres termes, nous allons voir ce que devient la racine qui disparaît pour a:= o. Si l'on introduil directement zéro à la place de a dans la formule (1), les racines

li)

prennent respectivi

:nl les formes illusoire

Os formules ne nous apprennent rien ; mais, si nous multiplions les deux termes de la fraction qui représente la valeur de x', formule (3), par — i — ^A' — 4"C, cl les deux termes de la fraction qui représente la valeur de x", formule (4}i p^^ — 1> -t- \/b^^^/i'*c , en observant que Ton a

00 trouve

'^b'-iav}

-iac)

OU simplement, en supprimant le facteur commun aa,

— b — y^* — ^fiC — b -{- yj b^ — L[cc

Si l'on fait alors tendre a vers zéro, on voit que \jb'^ — J^ac

tend vers b ; par suite, ocf tend vers — y 1 racine de Téqua-

tion

tandis que xf' augmente indéfiniment. Ainsi, en employant un langage figuré dont nous avons fait connaître le sens (p. 11 3), on peut dire que pour a = orune des racines de Téquation (a) devient infinie et que Tautre est

égale à -