NOTIONS GÉNÉRALES

- IKTBODOCTIOH.

Nous allons mainlenanl aborder celte partie de l'Algèbre appelée analyse algéltritjiie par Cauchj, introduction à l'Analyse infinitésimale par Euler. L'Analyse algébrique a pour but de préparer l'esprit à l'étude des branches élevées de TAnalyse, en ajoutant des coaceplions plus pKilosopltiques aux spéculations de l'Algèbre élémentaire.

Dans l'Analyse algébrique, les quantités que l'on considère sont systématiquement variables; l'emploi des lettres devient donc tout à fait indispensable pour tes représenter. Les théorèmes sur les limites, la notion de l'inGni et de l'infiniment petit reviennent à chaque instant et constituent le véritable fondement de la science que nous allons étudier.

Quelques auteurs ont défini les mots de constante et 'iabies nous ne pensons pas pouvoir substituer à ces

its des idées plus claires que celles que l'on y attache édiatement f ').

{*] . QuinUlu cuiouii

ulomn lerrins Qu»n

BBiic* oBinina iilorcs deb

iriila, |]iirp(!luo eutnilem

EuLU, Imrodutlio in flj

t D ALGEBUR.

Lorsque deux quantiu-s dépendent l'une de l'autre de telle sorte que, l'une d'elles variant, l'autre varie aussi, et que, l'une d'elles restant constante, l'autre reste constante aussi, on dit qu'elles %ov.\. fonctionii l'une de l'autre.

Les fonctions d'une quantité x se désignent par les

notalions/(x), F(^), . - -, <ï(x}, .... F'(j:), F, {x)

Si y est une fonction y( J:') de x, x sera une fonction ^{y) de^; les deux fonctions ^(j^) et 111(0:) sont dites inverses l'une de l'autre.

On dit qu'une quantité f est fonction de plusiewi'^ autres lorsque, celles-ci restant constantes, à l'exception d'une seule x d'entre elles, y et x sont fonctions l'une de l'autre; on représente les fonctions de plusieurs quantités par les notations /(x,r, 3, . , .),<s[x,y),'^[x,y, z) ....

Il .... Le Tf\oi fonction a été employé par lea premiers analystes pour désigner en général les puissances d'une même quantité; depuis, on a étendu la signification de ce mot à toute quantité formée d'une manière quelconque d'une autre quantité- Leibnitz et les BernouJIi l'ont employé les premiers dans celte acception générale »

(Lacrahre, Equations numériijues.)

U. — BAPFEL DE amCLaUES DÉrmiTIOHS IT théob£mes FONDAUGRT&DI.

On appelle limite d'une quantité variable une quantité I fixe dont elle approche indéfiniment, de manière à pou- I voir en différer d'aussi peu que l'on veut.

La limite d une somme ou d'un produit de plusieurs quantités variables eh hombiie LiMiTi est égale à la somme ou au produit des limites de ces quantités.

La limite d'une différence ou d'un quotient de deux

variahlet est égale à la différence ou au ijuotienl des limites de ces variables.

Ces théorèmes s'étendent encore au cas où quelques-unes des variables seraient remplacées par des constantes, pounu que l'on considère ces coaslanles comme étant à eUes-mèmes leurs propres limites.

On dit qu'une quantité variable est infinie lorsqu'elle peut croître en valeur absolue au delù de toute limite.

On appelle valeur d'une fonction pour une valeur infinie de sa variable la limite vers laquelle tend celte fonction lorsque celte variable croît indéfiniment; ainsi on dira que - est égal à zéro pour x^9s .

On appelle quantité infiniment petite une quantité variable qui a pour limite zéro; ainsi on pourra dire que

- est infiniment petit pour x infini. Toutefois, il ne faut

pas confondre ou assimiler te xéro à l'infiniment petit; le zéro est constant, TinGoiment petit est variable; il peut

Knc passer par des valeurs trcs-considérables avant d'aïndre sa limite xéro.

- DE U COHTIKUITÉ.

On dit qu'une quantité varie il' une manière continue entre deux limites a et b lorsqu'elle ne peut passer entre ces limites d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.

On dit qu'une fonction /(:r) de x est continue pour x=a, quand t étant une quantité donnée quelconque, aussi petite que l'on voudra, il existe une quantité finie h ttlle que, quel que soit 9 compris entre — i et +ii i" y(a + 6A) resle fini et bien déterminé; a" on ait '{a + ^h) — Aa) <î, en valeur absolue.

3o TRAITE

On dit qu'une foncLiony(j-) est continue à partir de a ou (à droite de a) quand e étant donné arbitrairement, il existe une quantité positive h telle que, quel que soit Q compris entre o et i, môme pour 0 = 0, i"/'(a + 8A) «si bien déterminé et fini, n' /(a-i- 6A) — /{a)<e en valeur absolue.

La fonction y(a;) serait dite continue, jusqu'à tz ou à gauche de a, si les mêmes choses avaient lieu en supposant 0 compris entre o et — i.

Enfin une fonction est continue entre les limites a et b quand elle est coutinue à partir de a jusqu'à b, et quaoct elle est continue pour toutes les valeurs de x comprises entre a et 6.

On peut dire d'une manière abrégée que /(a;) est continue pour X = a, quand à un accroissement infiniment petit quelconque de a correspond un accroissement infinimcnt petit de /{a).

Tbéorème I. — Si une /onction /{x) est continue pour foutes les valeurs de sa variable comprises entre deux limites a et b, elle passera par tous tes états de valeur compris entre f{a) et f(b).

En effet, subdivisons l'intervalle compris entre a et é en n parties égales à /i,, et, ^». désignant une quantité donnée comprise entre /{ a) et/{b), cherchons dans la suite /(a), f{a-\- h), . . .,/{« + n — i A) deux termes consécutifs /(c,) eiy(c, + A,) comprenant ji, si aucun

d'eu;

,là,*

Subdivisons encore l'intervalle compris entre c, et c, + A, en n autres égaux ù A^; cherchons dans la suiie /(c.), /{c,-l-Aj), ..., f{c,+~,r^h,) deux termes consécutifs /{cj) et /(Cj + Aa) <

nanti*, si aucuu nombres c, d, C\ H- A|,Cs + A,,

iix n'est égal à ji, et ainsi de si . . . vont en croissant et les r . en décroissant. Maisci, Cg, .

mpre-

.e; les mbres \ . sont