CHAPITRE II

ionsmoindresque6;ci + A|,C]4- Ai, >.. sont plus grands que a : donc les uas et les autres ont une limite ; cette limite est évidemment la même pour c,- et C| + A/, car ki lend vers zéro avec i. J'appelle c celte limite commuoe; je dis que l'on a précisément /(c)=^ [x. En elTet, îl esl toujours possible de déterminer la quantité positive H de lelle sorte que, pour A < H en valeur absolue, on ait /(c+ A) — /{cXe; maison peut toujours prendre i assez grand pour que c/et c/4- A,dill\;rcnt de leur limitée d'une quantité moindre que H, et alors /(c,) — /(o) sera moindre

Ie t,/{ci 4- A,-) — /(c) également. Donc [t, qui esl coma enire/(e,-t- A,) ei/(c,), dillérera a fortiori de /(c) lae quantité inférieure à e; donc eaûn/(c)^ [x. c. Q. F. D.

tatotikitE II. — Si une fonction f{x) ne peut pas tser de la valeur f{<3L) à la valeur f(p) sans passer par toutes las valeurs intermédiaires quand x varie d'une manière continue entre a. et ^, a. et ^ désignant deux nombres quelconques compris entre a et b, si de plus entre i et p la fonction f{x) ne passe qu'un nombre fini de fois par la mêmevnleur(^)et possède pour chaque de X une valeur finie et déterminée, elle est conpour toutes les valeurs de x comprises entre a et b.

En efTet, soit c une valeur comprise entre a et b; donnons à X une valeur fc voisine de c et un peu plus grande 4{ae c. Quand x variera entre c et k, f{x) variera entre

{*) Celle londllion, que l'on ne menlionne pu ordinair paadanl Dpeecuira : ainii uae fonction écile 1 lin - pour laora dr i diffirentct ds léro el icale k lero pour 2 = o n •nv pour 1^0; cila utUfait cepondanl aux autrei eondltioi •tu «t sliir qas/(A) — /(o) oaf(,à) = iln ^ ne lond pu ri

Il Tll«ITé d'aixiébiir.

des limites qui pourront être l'une supérieure et l'autre inférieure à /(c). Supposons, pour fixer les idées, l'une d'elles supérieure ^ f{c) et égale à/(c) + u; si l'on pose

(I) /(C+1I)-/(C)=£ ou /(C)+II=/(C)+E,

on trouvera toujours pour H une valeur satisfaisant à celle équation si e est très petit, parce que f{x), passant par la valeur /(c) et par la valeur /(c) + o), doit passer par la valeur intermédiaire /"(c) + £. De plus, il n'j a par hypothèse, entre c et k, qu'un nombre limité de valeurs de II satisfaisant à l'équation (i). Si donc nous prenons H égal â la plus petite solution de (i), pour toute valeur de h moindre que H, on aura

/(c + A)-/(c)<£ ou f{c + h)<f{c)^t,

sans quoi, f{c-\-h) pouvant devenir plus grand que /(c)-)- E, il passerait entre c et C + H par la valeur/{c) -1- e, et H ne serait pas la plus petite racine de (i).

Si/(j:) variait entre deux limites dont l'une soit inférieure ày(c), on prouverait de même qu'il esiste une quantité H' telle que pour A'-< H' on aurait

On verrait enfin d'une façon analogue qu'il existe une ijuantilé H( telle que toute valeur négative h moindre en valeur absolue que H, satisfasse aux inégalités précédentes. La fonction / est donc continue pour x^C compris entre a et b. c. q. f. n,

Théorème II. — La somme, la dijjérence, le produit, le quolienl de plusieurs fonctions continues sont encore des fonctions continues.

Eu elTet, prenons, par exemple, le produit de plusieurs fonctions continues/", (ir)/'j(:r), . ./„(*), changeons j: en

ciiAi'itnE 11. 33

Vx -f- A : le produit devient

lors<fDe l'on fait tendre h versïéro; /i{.r-t-/j),/"j (x-i-/i), ... tendent vers les limites y, (.r), /3{,r), .... Or la limite

(du produit /,(„■ + /,:/„,, + /,)...

est égale au produit des limites de ses facteurs : donc Mi+I.)f..{x + !,)... a pour limite /,(x)y.(i), ... et par conséquent peut eo différer d'aussi peu que l'on TCUi; donc /t (x)/",( j;). . . représente une fonction continue.

Il faal bien remarquer que, si/{x) n'était pas continue pour la valeur a de sa variable, /"(« + /() n'aurait pas pour limite /"((!), ce qui peut arriver de deus manières : l"U fonclion/(x) passe brusquement d'une valeur à une tnlre lorsque x ne varie pas sensiblement; ces cas sont tris-rares : nous en verrons plus loin des exemples; a" la foncliony(a') existe pour x = i -H /i, mais n'existe plus pour x^ a; alors, /"(a) n'existant pas,y(« 4- A) n'a pas

de limite. Par exemple, la fonction - n'existe pas pourx=o;

elle est discontinue pourx = o; la fonction \/i — x est discontinue pour x = i, etc.

Rkhahque. — Un quotient de deux fonctions continues

sse d'Atre continu lorsque le diviseur passe par zéro. Ea

, alors le raisonnement exposé plus haut tombe en

F défaut, car le quotient des limites de deux quantités dont

le diviseur est nul n'existe plus.

TBÉOBÊMt: m. — Si u^=f{^x) est une Jonction con- I tiautt de x pour x '=a et si y est une fonction continue Véeu pour n =J^a), y sera une Jonction continue de x [ pour X ^a.

- AlgUr', II- 3

Sj TRAITE D.lIJiËBnB.

En effet, à un accroissement iolioinient petit de x correspond un accroissement infiniment petit de u, à un accroissement infiniment petit de ii correspond un accroissement infiniment pclît dey : donc, en définilive, à un accroissement infiniment petit de .r correspond un accroissement infiniment petit de j-; donc r est fonclioD continue de x.

Théobême IV. — Si /{u, v) est Jonction continue de u et de V, et si u et ii sont Jonctions continues de x, f(u, v) sera fonction continue de x.

Mais, pour que ce théori^me soit vrai, il ne suffit pas que/"( u, f) soit continu pour des valeurs déterminées de u ci V, il faut quey(u, i') soit continu pour toutes les valeurs de II comprises entre deu\ limites fixes rt + £, « — î' et de V comprises entre deux autres limites A -f- e, et 6 — t',, simultanément, e, c', fi, s', désignant des nombres finis, A ce prix seulemenl,/'(H-t-K, l' + i'ï) — /(", i') tendra vers zéro quand les accroissements a et j^ de u et v produits par l'accroissement très petit de x tendront vers zéro. En effet, cette différence peut s'écrire

et les deux différences dont elle se compose ont pour limite zéro pour a =^ o cl p = o.

Une somme ou un produit composé d'un nombre illimité de fonctions continues peut fort bien cesser d'être .continu. Nous verrons plus loin des exemples de ce fait.

Sirona j' = /(x),on en conclut j:=: tp(('); les fonctions /{x) et 'f (.z) sont alors dites inverses l'une de l'autre; ordinairement une fonction et son inverse sont continues en ;uéme temps.

IT. — 8DB U TABUTIOS II£S FOlICTIOltS.

Une fonction /{x) de x est croissante pour x = o quand il existe une quantité positive h telle que, Q étant

.^Til

sompris entre o et i

1 <]ue soit d'ailleurs Q. Si la première égaillé seule est iatisfaite, la fonction est croissante à partir de a; si In seconde seule est satisfaite, elle est croissante jusqu'à a.

' Les définitions précédentes subsistent en rein|)iaçanl le

^^Ebot croissante par décroissante, pourvu que dans tes for- ^^■ales (i) on remplace le signe > par < et < par >. ^^F 11 e^i important de remarquer que, d'après nos défîn!- ^^Bons, unefonction peulfortbien être continue pourx^a, ^^bns être ni croissante ni décroissante; il existe de nom- ^^fevux exemples de pareilles fonctions.

On dît qu'une fonction f{x) de x passe par un maximum pour x:=.a quand il existe une quantité A, telle que, tel que soit fl compris entre — i et + i , on ait /{a:+8A></(a);

I contraire, elle passerait par ' ll'on avait f{x + 1/<) >/{a.).

leière commun au niaiimum -OA) — /■{«) conserve le i

itnimum pour x = peut dire que le c

de-

léme signe quand 6 v

iable!

Une fonction de plusieurs

> y^ ^)» pBsse par un maximum pour x = c quand il existe des ». variant entre — i et

z, à savoir

/ telles que 0.

toujours

/{a + ih, fc-vX*..

I dirait que la fonction passe par un minim

'36 m^tTii d'algëbrh.

Théohéhe. — Toute fonction f{x) continue quand a varie entre a et b qui s'a/inuff pour x=: a et x =^b et qui ne reste pas constante passe par un maximum ou un minimum pour une valeur de x comprise entre a et b. Il paraît que celte proposition n'est pas évtdeDte; voici commecl on peul convaincre les esprits didiciles :

/{x), étant conlinii, ne peut lievenir infini entre les limites a et fc de sa variable : il y aura donc une valeur M surfisaminenL grande en valeur absolue qu'il ne pourra dépasser; mais (dil-on) il ne pourra pcul-étre pas l'atteindre, bien qu'il puisse en approcher autant que l'on voudra; il reste donc à prouver que pour une valeur c dex on aura/(c) = M, c étant compris entre a et b. Or

/( jr), pouvant s'approcher de M tant que l'on voudra, tend vers la limite M pour une valeur de x que nous pouvons appeler c; formons /(c), si l'on n'a pas/(c)= M, il existera entre /(c) et M une différence finie A; mais,/(x) étant continu, il existe une quantité A telle que

Va\!,hi[f(c + lih)-/{c)i<~,

Q étant compris entre o et i ; maïs, quand QA est suffisamment petit, par hypothèse, y"(f-f-Q A) diffère de M d'aussi peu que l'on veut; donc on peul prendre

Valabs[/(c + e/0-M]<y et alors on aurait

Valabs[/(c)-Ml<A. ce qui est contraire à Tliypollirse /(c) — M = i. On a donc bien /(c) = M . c. y. f. d.

ConoLLiinE. — Si /(x) est continu et non constant entre les limites a et b de x et si l'on a /(n)=/(b), /(x) passe par un maximum ou un minimum pour une valeur de x comprise entre a et b.