PKP

4o ïnAlïÉ ÉLÉMENTAIRE

lorsque m =: n -^ celle des aiUres esl

,KP-r-r„.. r

ml'.

Pour en calculer la valeur, quand p esl Irès-graud, il faudrait former des produits composés d'un nombre considérable de facteurs, ce qui devient bientôt impraticable, à moins qu'on ne s'aide d'une formule très-curieuse et très-commode, découverte par Stiiling, ou de celles que Laplace a données dans les Mémoires de V Académie des Sciences^ années 1^81 et 1782, et dans sa Théorie nnalytiqtie des Probahilités : on trouvera la première dans la Note I, à la fin du présent ouvrage.

En l'employant au calcul de la probabilité d'obtenir 5o fois révénement A et 5o fois l'événement B, sur 100 épreuves, on trouve 0,079589^, probabilité tiès-petite en elle-même, parce qu'il ne s agit que d'un seul événement pris parmi ici ; mais si on la compare à celle d'amener 100 fois de suite l'événement A, on aura

» ou, a trcs-peii près, 1 —

ce qui ne dillère pas sensiblement de 1 uiiilé, puisque le dénominateur de la fraction qu'il faut retrancher de cette unité, étant développé, aurait 3o chiiVres.

Ce résultat montre la différence énorme qu'il y ^ entre les possibilités lespeclives des deux événenuiils dont j«« viens de faire la comparaison ; mais aub^i il laiil observer iju<- Il proljabilii»' d'amener sans iuieii iqitinn. soit l'évé-

DKS VUOItACll.lTl'"..S. /^I

ncniciit A, soil révéïuiiiciit J5, csl plus petite (|iic celles «.le tous les autres événcmeiils composés; celles-ci vont en augniejilaut à mesure qu'on se rapproelie du terme moyen.

28. Lorsqu'il n'y a pas le même nombre de chances en laveur des événemenls simples A etB, VévénemenL composé, le plus probable est encore celui dans lequel le nombre des évcnemetils A est à celui des êvènemeiils B dans le rapport du nombre des chances favorables au premier au nombre des chances favorables au second.

Pour bi(;n faire comprendre cet énoncé, prenons m = 3, n = 2, et faisons successivement p = 5, :== lo. Dans le premier cas, le terme le plus considérable du développement de [m -\- JiY sera

H)8o io8o . I

iom^/i-= looo, et donnera — - — =: - — rj environ -■>

5' il 25 o

pour la probabilité d'obtenir en 5 épreuves 3 fois Tévénemcnt A et 2 fois Tévénement B. Le plus grand terme du développement de [m-\- n)^'^ est

— - ^' V - /«"«' = 2io ni^n^ m 210.3". 2' = 244944 •J»

d'où il résulte

2io.3''.2* 244o44o . 2

= ;.. -■) environ -?

pour la probabilité d'amener en 10 épreuves 6' événements A et 4 événemenls B, nombres qui sont dans le rapport de 3 à 2. Celte probabilité est moindre que la précédente, par la raison déjà alléguée dans le 11" 2G ; mais elle est toujours la plus grande relalivemeiit à toutes celles qui se déduisent du même développement.

Les multiples de 5 pouvant seuls se partager en deux nombres entiers qui soient entre eu^ dans le rapport de ') à 2, le développement des puissances dont l'exposant

mP-inl,

42 TRAITL Él-lt.MENTAK.i;

n'csL pas un imilliple de 5 ne coiitienl pas de termes où les exposants des lettres m et n soient dans ce rapport ; mais les termes qui ajjprochent le plus de remplir cette condilioji sont les plus considérables. C'est ce c[u'on va voir par la détermination algébrique du plus grand terme du développement de (m -h nY •