AA, AB, BA, BB

En général, il est visible qu'il y a le même nombre de cbances dans 11 jets successifs du même dé, et dans le jet simultané de n dés semblables. Il paraît, par !(>s Lettres de Pascal à Fermât, qu'il était tombé d'abord dans une erreur analogue à celle que nous venons de relever (***).

25. On peut aussi déterminer les probabilités simples d'après celles des événements composés. Par exemple, lui joueur ayant reconnu que, dans une parlie formée de trois points, il peut en céder deux à son adversaire pour éta-

(*) Opuscules mnthrinaliqtics Ao. d'Alcmbort, l. II, ]>. ^O. (**) Essai philosnfjhitjue sur Icspiohnhihlrs, page l 'î do la cinquifiiit édition in-8".

[-*-**'\ Œuvres de Pascal, l IV. )> ; > ,

36 TnUTi'. f^I.fLMENTVir.E

hlir ciilrc eux Vci^aUlc, on demaiifle la pivhabi/itc qua le premier joueur de gagner un point.

11 résullo de renoncé (ju'il a la piobabililé \ de gagner liois points de suite, puisfju il perdrait la partie si son adversaire en gagnait un auparavant. On a donc, pour ce cas,

e' = i , d'où ez= j^',

re qui revient à environ 0,79^7, un peu moins de '-.

Si le premier joueur ne cédait cpi'un point sur trois, alors les chances en sa faveur seraient de gagner les trois points de suite, ou en quatre coups au plus: car s'il manquait deux coups, son adversaire gagnerait la partie. AiiiM l'on aurait

^i l 4c'/=;- on 4^' — 3r> = {,

en mettant pour /" sa valeur i — e. Cette équation elaiit résolue ferait connaître e; on trouverait 0,61 43 environ (*).

!2(). La considération des divers événements composés qui peuvent arriver dans les épreuves répétées du même jeu mérite toute notre attention, parce qu'elhî fournit, ainsi que Ta remorqué d'abord Jaccjues Beinoulli dans la quatrième partie de WArs conjcciandi, cl ensuite Condorcet dans ses divers écrits sur le calcul des probabilités, les meilleures bases que Ion yiuisse donner à la philosophie de ce calcul pour fonder lulilité de ses applications.

Les termes du développement de (/n-f-/?)'' indiquant les chances favorables à chacun des événements composés qui, dans un nombre p d épreuves, peuvent résulter des diverses successious d évi'-ncnienls simples A et lî, il est

(^ * ) Doctrine 0/ ChiDircs, p. 35.

nKs i>noBABij.iTÉs. Zy

fiicilc de dùtcrnnnar /cifuel de cas évèiieinc.uLs composés a le plus (le cluinccs en sa favrnir, cl est par consvqnent le plus probable, il siilllt, pour cela, de chercher (juel est de tous les lermes du (h'veloppemeul [ni ->r ny celui dout la valeur est la plus considérai)Ie. Avant de passer à la solution générah; de ce problème, je crois à propos d'en donner quelques exemples numériques pour ceux des lecteurs à ([ui l'Algèbre ne serait pas très-familière. Premièrement, si l'on fait ni=zn^ le plus grand terme sera celui qui occupe le milieu de la formule, quand le nombre p est pair; et lorsque ce nombre sera impair,- il y aura deux termes consécutifs égaux, surpassant tous les autres et placés aussi dans le milieu du développement, comme on le voit ci-dessous dans les premières puissances du binôme m -f- n :

{m 4- «y^ =: /«' -f- 2 nin + n-,

[ni -f- ny = W -f- 3 nrn ■+- 3 /nrp -+- /?%

(/// -i- n)* = w' + ^nPn -t- (jm^ n'' -+- 4 ^"^ + ''*>

[m 4- //)^ = m^ -+• 5in^ n -+- lonPn'' -+- lorn^n^ -+- 5mri* -+- n'.

Les termes 2ni/i ei Gni'ir du milieu de la seconde et delà quatrième deviennent respectivement 2m" et 6///*, lorsque m = n, et ce sont les plus considérables, parce qu'ils ne ditlerent des autres que par leur coefTicienl, qui est le plus grand de tous ceux de la formule. Les termes inrii et "dni/r dans la troisième puissance, se changeant en 3 //i*, deviennent égaux-, il en arrive autant, dans la cinquième, aux termes loni^yi'^ et low^/i^, qui se changent en low' et ont le plus grand coefficient.

Il résulte de là que, si l'on considère un jeu où le nombre des chances soit le môme en faveur de l'événement A et de son contraire 13, les événements composés les plus probables seront i fois A et i fois B dans 2 épreuves, 2 fois A et 2 fois iî dans 4 épreuves, et ainsi de suite lors(jue le nombre des épieuves est pair. Quand ce nombre

38 ÏIWITÉ ÉLÉMEKTAIRE

est impair, il y a dans chaque épreuve deux événemenls composés dont la piobabllilé est égale et surpasse celle de tons les autres, savoir : ceux d'amener 2 fois A et i fois B, ou 2 fois B et I fois A dans 3 épreuves -, 3 fois A et 2 fois B, ou 2 fois A et 3 fois B dans 5 épreuves, et ainsi de suite.

f^es probabilités de ces divers événements seront

pour I fois A et 1 fois B,

2 fois A et 2 fois B,

lO/ll^

])onr 2 fois A et i fois B ) 3w' 3

ou 1 fois A et -2 fois K ) ( ni -+- mY 8

pour 3 fois A et 2 fois B / lo/ii^ 10 5

ou 2 fois A vt 3 fois B \ (ni -f- /?? " 32 16

Ces diverses probabilités décroissent à mesure que le nombre des épreuves augmente 5 et cela est tout simple, car si chacune est la plus grande de toutes celles qui naissent du nombre d'épreuves dont elle fait partie, elle ne répond qu'à un seul des événements composés, qui se multiplient à mesure que l'on embrasse un plus grand nombre d'épreuves.

Il n'en est pas ainsi pour les probabilités relatives des

divers événemenls composés fournis par le même nombre

d'épreuves. Par exemple, la probabilité d'amener plutôt

I fois A et I fois B (jue 2 fois A étant le (juotient de la

probabilité absolue du premier de ces deux événements

composés par la somme des probabilités de l un et de

l'autre (lo), on aura

La probabilité d avoir j)luliit 2 lois A et 2 lois B qui

iJliS \'U<)1JMJ1L1TÉS. 3,9

4 lois A (.U; siiilc se irouvcr,» de tnrine t'yalc ."i

f'raclion (jui surpasse |. On obtiendrait lonjours dt;s résultais semblables en poursuivant le calcul, et l'on en conclurait la diii'érence de possibilité entre les évéuements couiposés de la répétition constante du même événement simple, et celui dont la composition se rapprocbe le plus du rapport de possibilité des événements simples. Le seul bon sens suffit sans doute pour mener à ces conclusions, mais il n'en pourrait donner les valeurs précises, de même qu'il n'avait pu faire deviner au chevalier de Méré la réponse à la question qu'il s'était proposée : l'emploi du calcul sera donc indispensable toutes les fois qu'il s'aj^ira de déterminer des valeurs résultant d'opérations coinpli<[uées ou comprises dans des limites étroites.

27. Les formules générales correspondant aux remarques du numéro précédent se présentent d'ellesmêmes, puisqu'il ne s'agit <jue de calculer le teime (jui lient le milieu dans le développement d'une puissance paire du binôme, ou les deux qui en prenntmt la place, quand la puissance est impaire.

L'expression du premier est

-;/' ..." in ft