DES PROBABILITÉS

plus grand lorinc, à parlii- (.lin[iit;l les auliu's vont en décroissant vers chaque extrémité ilu développement.

c. pn -\- n , . . . , ,

oi était un nombril entier, en le prenant pour la

valeur de q, le rapport dont il s'agit serait précisément

égal à Tunilé : il y aurait dune deux termes consécutifs

égaux et plus grands que tous les autres.

Dans le cas contraire, il faut prendie pour la première

valeur de q le nombre entier immédiatement au-dessous

. un -\- n . , ,.,.„ ,

de 5 et qui, par conséquent, en (lillere de moins

que Tunilé : ainsi q est compris entre les nombres fractionnaires

dont la différence est = i.

Lorsque p =: /• (/// -f- /?), il vient

p <i^rn -\- et ]>» rn — \

m -t- // /// -f- Il

q est donc le nombre entier /•«, et par conséquent

Maintenant, soit M le terme le plus considérable du développement de [ui -{- iiY \ la probabilité relative de r événement composé auquel il répond, comparé à celui auquel répond un autre terme K, étant exprimée par

approchera d'autaut plus de 1 unité ([ue K sera plus petit par rapport à M, ce qui démoulre la remarque faite dans le n° 26, en la généralisant, puisque ici m et n sont supposés quelconques.

On voit donc, par ce (|ui précède, que tic tous les iwc-

44 TRAITÉ raÉME.NTAIRE

iienicnls lonijiosés (jui penvcnL se présenter dans un nombre r [in -\- n) d'épreuves, le plus probable^ coniparatiuenient à chacun des aulres en particulier^ est celui qui répond au terme affecté de /7i'''"/z''", dans lequel les événements A. et B sont répétés V un rnijois, l'autre //i, cest-n-dire proportionnellement à leur probabilité particulière.

30. Après avoir reconnu la forme du terme qui surpasse tous les autres, il faut encore examiner la marche de ses rapports avec ceux-ci.

Pour cela, prenons comme ci-dessus p =^ r [m -\- n),

q deviendra /Vi, et 1 expression — du rapport

' (j /Il ^

de deux termes consécutifs donnera

r(//i -^ n) — rn -\- \ n rm H- i

pour le quotient du plus grand terme divisé par celui (jui le précède immédiatement. Si Ion divise pai- ///i le numérateur et le dénominateur de ce quotient, on oblien-

d/a I H •> (luanlilé (lui approchedautanl plus dolunité

rni ^ j 1 1 1

(|ue le nombre /■ est plus grand.

Si Ton prenait le plus grand terme pour diviseur, au

lieu de celui (pii le précède, le rapport devenaul inverse

seriil exprime alors par

rm

Dans le terme (pii suit M, q de\ient rn 4- i, et 1 On a rin II rn i

r/i -{- \ m rn -f- i i

fraction qui tend sans cesse vers lunité à mc>urc (pie /" auemente.

T)i;s l'uomiiii.T 1 Es. 45

En passant ainsi à des ii;rmcs dislanls de Jeux, de trois, clc, places du iciine M, on rcconnailra sans peine (juc de el»a([uc côté de ee ternie le décroissemcnt devient de moins en moins rapide, l(>rs([u'on augmente la valeur assignée au nombre /•. De là résulte, dans les environs du plus grand terme, la réunion de ceux dont les valeurs sont les plus considérables et qui composent la plus forte partie de celle du développement entier.

31. Quand on s'approche davantage des extrémités de ce développement, on arrive à des termes dont le rapport, avec M décroît de manière quon peut toujours assigner à r une valeur assez grande pour que ce rapport devienne aussi petit quon voudra. \ oici à peu près comment Jacques ]3ernoulli a dénaontré celte importante proposition.

En considérant le plus grand terme M et deux autres qui en soient éloignés de /• placés, soit avant, soit après, on aura à comparer les termes

dont, pour abréger, j'ai représenté les coefflcients par A, [i et X'; et si ces trois termes sont désignés respectivement par les lettres L, IM et L', on aura

M (/•/?? -\- r) [nu -{- r — i) . . . (;•/;/ -t- i) //'' L ( m — r ->!- i) l^rn — /• -f- 2 j . . . ^/^ m''

M [m -^ ?■) [rn -\- r — i). ..(/•« -f- i) nf

U ( jui — r -\- i) [rm — r -\- o.). . . rni n''

après la suppression des facteurs communs aux deux termes de chaque rapport. Le second ne diiï'ère du premier que par le changement de ni en /i, et réciproquement.

Cela posé, il faut d'abord montrer que la valeur du

rapport — peut élrc rendue aussi grande qu on le voudra ;

/l6 lliAlTÉ ÉLÉMENTAIRE

pour cela on décomposera les puissances n' et j/i'^ dans leurs facteurs, afin de les joindre à chacun (le ceux des coeflicients, ce qui donnera

]V1 rni/i -»- r/i rniii -^ rn — n rmn -\- n

L rm/i — rm -\- m rmn — rm -\~ ?. m rmn

produit composé de r facteurs. Celui dont le rang est marqué par (j a pour expression

mn -\- n

rmn -{- rn — (7 — 1 ) « r

rmn' — rm -H am nin

mn — m H

lorsqu'on divise les deux termes par r. Il faut d abord observer que tous ces facteurs surpassent 1 unité; car si Ton relranclie le dénominateur du numérateur, le reste

iui -h //) ( I — ) "^ ^^ réduit à -5 quand on y met

pour q sa plus graiide valeur r, et demeure par conséquent toujours positif.

On voit ensuite que, pour une même valeur de q, le numérateur croît, tandis que le dénominateur décroît lorsque /' ou le nombre des facteurs augmente: d'où il suit que leurs ^ alrurs augmentent avec leur nombre, et que, par conséquent, leur produit devient de plus en plus grand.

Enfin, pour une même valeur de /\ le numérateur diminuant lorsque q augmente, tandis que le contraire a lieu pour le dénominateur, il est évident que les facteurs dont il est question forment alors une progression décroissante, dont le premier et le dernier terme

m mil

mn — m -\

BES l'IlOI! \UII.lTi:S. 47

comptcMiiieiit t'Ulrc eux l;i (|uaiililt'; nm H- « w 4- I

inn m

Oi , il csl lou|Ouis possible (rassi^ucf la valciii (Tun

iioiuhrc t] tc'I,(|iic I I ('gale 011 surpasse un nombre

(loiiué f ; car, eu posant

cl passant aux logarithmes, on trouve

r7[l(w 4- 1)— 1///] = If, d'où q = —— ;

Si celte valeur de q n'est pas un nombre entier, on prendia celui qui la surpasse immédiatement.

Maintenant on peut faire en sorte que le facteur placé

au rang marqué par q, dans la valeur de — ? devienne

égal a : il sulîit pour cela de poser Téqualion

rinn -\- j-n — (y — i) n m -\- i rinn — nu -j- qin m

et de déterminer /■ en conséquence. Cette équation, (pii

revient à

rmn -(- m — in — i) n

donne

qri — n { qn — «" ■ ' ' , r{m-^n) — \q-^i

Par cette valeur de r, les q — i facteurs pris sur la gauche

de celle de — surpassant qui est égal a celui tiu

rang q^ le produit des |>iemiors multipliés par ce dernier

48 TUAITÉ L.I.ÉMENTAinE

/ /« 4- I \ '/ , . 1 . , surpassera iit'c<;ssaireni<'ni | 1 ■> c esl-a-uirc Je iiom-

brcc; ('iifin les faeteurs qui suivent étant tous ^i, le

produit eoniplet, ou la \ aleur de —, surpassera à j)lus forte

raison le nombre c.

Par ce qui précède on a donc déterminé le nombre /", de manière qu'en élevant le binôme m-\-n à la puis-

sance marquée par r[ni -\- ii), le rapport — surpassera lel nombre donné qu'on voudra.

Pour traiter de même le second rapport '—,•! il suffira,

suivant la remarque faite à la page 4^? de changer /// en fif et réciprocjuement, dans les formules précédentes, ce qui donnera

qin — m

r , ni -^- n) :=

/ qm — /?;

Lorsque celte valeur de /'difî'ércra de la prérédcntc, re ([ui aura lieu presque toujours, il faudra emj)lover la plus considérable des deux, qui rendra en mèm(> temps